Calcolo autovalori
se ho una matrice $((\alpha,\alpha,\alpha),(\alpha,\alpha,\alpha),(\alpha,\alpha,\alpha))$ dove $\alpha in RR$ come calcolo gli autovalori, qual è il criterio per arrivarci velocemente ?
Risposte
La matrice ha rango 1 quindi ha autovalore 0 con molteplicità 2 e poi siccome l'immagine è generata da \(\begin{pmatrix}\alpha\\\alpha\\\alpha\end{pmatrix}\) sai che questo vettore andrà in un suo multiplo, in particolare andrà in \(3\alpha\) volte sè stesso. Quindi gli autovalori sono 0 e \(3\alpha\) e ne conosci anche le molteplicità algebriche e geometriche.
Sì, tutto corretto;
ma in generale si deve pur sempre calcolare il polinomio caratteristico della matrice
Al più in generale, calcolando il nucleo puoi verficare se \(\displaystyle 0\) è un autovalore e quali i sono relativi autovettori.
ma in generale si deve pur sempre calcolare il polinomio caratteristico della matrice
Al più in generale, calcolando il nucleo puoi verficare se \(\displaystyle 0\) è un autovalore e quali i sono relativi autovettori.
"jas123":
La matrice ha rango 1 quindi ha autovalore 0 con molteplicità 2.
il fatto che abbia rango 1 come si deduce che la molteplicità dell'autovalore sia 2?
Se la matrice ha rango è 1 immagino che il determinante sia uguale a zero per cui esiste almeno un autovalore che sia zero.
La definizione di autospazio ti dice che \[V_{\lambda_i}=\ker(f-\lambda_i Id)\] allora \[V_0=ker f\] e la dimensione del \[ker\] la conosci dal rango della matrice.
Quindi sai che la molteplicità geometrica di 0 è 2. La sua molteplicità algebrica la deduci dall'esistenza di un altro autovalore e dal fatto che la molteplicità geometrica è sempre minore o uguale a quella algebrica
Quindi sai che la molteplicità geometrica di 0 è 2. La sua molteplicità algebrica la deduci dall'esistenza di un altro autovalore e dal fatto che la molteplicità geometrica è sempre minore o uguale a quella algebrica
"jas123":
siccome l'immagine è generata da \(\begin{pmatrix}\alpha\\\alpha\\\alpha\end{pmatrix}\) sai che questo vettore andrà in un suo multiplo, in particolare andrà in \(3\alpha\) volte sè stesso.
O più semplicemente, visto che la somma degli autovalori è pari alla traccia della matrice, ovvero $3alpha$ abbiamo: $lambda_1+lambda_2+lambda_3=0+0+lambda_3=lambda_3=3alpha$
P.S. Gli autovettori si calcolano anche a mente:
$lambda=3alpha rArr (1,1,1)$
$lambda=0 rArr (1,0,-1) (0,1,-1)$ (in realtà ci si può sbizzarrire)
"jas123":
la dimensione del \[ker\] la conosci dal rango della matrice
Ok che la dimensione del $ker=1$ perchè mi pare di capire che sia uguale al rango della matrice.
Quindi sai che la molteplicità geometrica di 0 è 2
per voi sarà sottinteso ma non capisco come si deduce il valore della molteplicità geometrica di 0.
"Bokonon":
[quote="jas123"]siccome l'immagine è generata da \(\begin{pmatrix}\alpha\\\alpha\\\alpha\end{pmatrix}\) sai che questo vettore andrà in un suo multiplo, in particolare andrà in \(3\alpha\) volte sè stesso.
O più semplicemente, visto che la somma degli autovalori è pari alla traccia della matrice, ovvero $3alpha$ abbiamo: $lambda_1+lambda_2+lambda_3=0+0+lambda_3=lambda_3=3alpha$
P.S. Gli autovettori si calcolano anche a mente:
$lambda=3alpha rArr (1,1,1)$
$lambda=0 rArr (1,0,-1) (0,1,-1)$ (in realtà ci si può sbizzarrire)[/quote]
passaggi chiarissimi, questo mi torna.
"Bokonon":
O più semplicemente, visto che la somma degli autovalori è pari alla traccia della matrice, ovvero $3alpha$ abbiamo: $lambda_1+lambda_2+lambda_3=0+0+lambda_3=lambda_3=3alpha$
P.S. Gli autovettori si calcolano anche a mente:
$lambda=3alpha rArr (1,1,1)$
$lambda=0 rArr (1,0,-1) (0,1,-1)$ (in realtà ci si può sbizzarrire)
passaggi chiarissimi, questo mi torna.[/quote]
"zio_mangrovia":
per voi sarà sottinteso ma non capisco come si deduce il valore della molteplicità geometrica di 0.
Puoi ragionare (in generale) sia per riga o per colonne. Se prendi una riga/colonna e vedi ad occhio che genera le altre due, allora c'è solo una riga/colonna indipendente, quindi il rango della matrice è 1, quindi la dimensione del kernel (a cui è associato sempre l'autovalore $0$) è 2.
E' esattamente quello che fai usando Gauss. Se sottrai, ad esempio, la seconda e poi la terza riga dalla prima ottieni (0,0,0)...lo si vede ad occhio nudo.
Il determinante ti dice solo se una matrice è singolare o meno ma non ti da informazioni sul rango, mentre Gauss ti dice tutto. Se lo userai spesso, vedrai che anche tu determinerai (molto spesso) il rango senza fare conti (specie con una matrice come quella proposta!).
"Bokonon":
quindi la dimensione del kernel (a cui è associato sempre l'autovalore $0$) è 2.
E' esattamente quello che fai usando Gauss.
Mi mancava questo pezzetto: non ricordavo che il $Ker$ era associato sempre all'autovalore $0$.
Quindi una volta determinato il rango della matrice, la dimensione del $Ker$ coincide con la dimensione della matrice meno il suo rango, corretto ?
@zio_mangrovia
Si, è corretto e la ragione te l'ha spiegata @jas123 nel suo secondo post in questo thread.
Proviamo a ripassare velocemente le idee dietro la teoria.
Ci domandiamo se esiste/ono dei vettori tali che $Av=lambdav$ ovvero che non cambiano direzione dopo la trasformazione lineare A.
Quindi abbiamo il sistema omogeneo $[A-lambdaI]v=Bv=0$ e sappiamo che ha soluzioni (esclusa quella banale) se e solo se B è singolare, ovvero se ha un kernel con dimensioni $>0$
Se la matrice A è già singolare è chiaro che è già una candidata, infatti per $lambda=0 rArr B=A$
Quindi il suo kernel è un autospazio "naturale" associato all'autovalore zero.
Si, è corretto e la ragione te l'ha spiegata @jas123 nel suo secondo post in questo thread.
Proviamo a ripassare velocemente le idee dietro la teoria.
Ci domandiamo se esiste/ono dei vettori tali che $Av=lambdav$ ovvero che non cambiano direzione dopo la trasformazione lineare A.
Quindi abbiamo il sistema omogeneo $[A-lambdaI]v=Bv=0$ e sappiamo che ha soluzioni (esclusa quella banale) se e solo se B è singolare, ovvero se ha un kernel con dimensioni $>0$
Se la matrice A è già singolare è chiaro che è già una candidata, infatti per $lambda=0 rArr B=A$
Quindi il suo kernel è un autospazio "naturale" associato all'autovalore zero.
"zio_mangrovia":
Ok che la dimensione del $ker=1$ perchè mi pare di capire che sia uguale al rango della matrice.
No il rango della matrice è uguale alla dimensione dell'immagine, non del nucleo.
"jas123":
No il rango della matrice è uguale alla dimensione dell'immagine, non del nucleo.
A questo punto, ritorna il buio....
"jas123":
e la dimensione del $ker$ la conosci dal rango della matrice.
Quindi sai che la molteplicità geometrica di 0 è 2.
ma se il rango della matrice è uguale alla dimensione dell'immagine e non a quella del $ker$, allora come si deduce la dimensione del $ker$ ?
Sopra viene riportato che si deduce dal rango della matrice, quindi avevo interpretato come se avesse ugual valore $ker$ e $rango$, ma qual è il criterio?
"zio_mangrovia":
ma se il rango della matrice è uguale alla dimensione dell'immagine e non a quella del $ker$, allora come si deduce la dimensione del $ker$ ?
Dal teorema rango + nullità https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_rango
$n=3$, $dim (Im(f))=rk(A)=1$, ergo $dim(ker(f))=?$
"Bokonon":
Dal teorema rango + nullità https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_rango
$n=3$, $dim (Im(f))=rk(A)=1$, ergo $dim(ker(f))=?$[/quote]
sarà $3 - 2 = 1$ dimensione del $ker$
"zio_mangrovia":
sarà $3 - 2 = 1$ dimensione del $ker$
Mannò....$n-rk(A)=3-1=2=dim[Ker(A)]$
"Bokonon":
[quote="zio_mangrovia"]
sarà $3 - 2 = 1$ dimensione del $ker$
Mannò....$n-rk(A)=3-1=2=dim[Ker(A)]$[/quote]
La fretta di scrivere mi ha fregato ! giuro che volevo scrivere proprio quello
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