Calcolo autovalore e autovettori di una matrice
Salve ragazzi avrei un problema con il calcolo di autovalori e autovettori relativi ad una matrice. Ho la seguente matrice:
$A=((3,-2,5),(0,1,4),(0,-1,5))$
dovrei calcolare gli autovalori e autovettori relativi a questa matrice. Facendo i calcoli ho ottenuto che l'autovalore è 3 con molteplicità algebrica 3. Quando però vado a calcolare il corrispettivo autovettore ho dei problemi. Perchè per calcolare l'autovettore dovrei fare (A-3I)x=0, ma la matrice (A-3I) viene di questo tipo :
$A-3I=((0,-2,5),(0,-2,4),(0,-1,2))$
e nn riesco quindi a calcolare l'autovettore...
potreste aiutarmi??Grazie..
$A=((3,-2,5),(0,1,4),(0,-1,5))$
dovrei calcolare gli autovalori e autovettori relativi a questa matrice. Facendo i calcoli ho ottenuto che l'autovalore è 3 con molteplicità algebrica 3. Quando però vado a calcolare il corrispettivo autovettore ho dei problemi. Perchè per calcolare l'autovettore dovrei fare (A-3I)x=0, ma la matrice (A-3I) viene di questo tipo :
$A-3I=((0,-2,5),(0,-2,4),(0,-1,2))$
e nn riesco quindi a calcolare l'autovettore...
potreste aiutarmi??Grazie..
Risposte
Se $x = (x_1, x_2, x_3)^t$
$(A - 3I) x = O \iff \{(-2 x_2 + 5 x_3 = 0),(-2 x_2 + 4x_3 = 0),(-x_2 + 2 x_3 = 0):}$
Dalla seconda e dalla terza si ottiene $x_2 = 2 x_3$, sostituendo nella prima si trova $-4 x_3 + 5 x_3 = 0 \implies x_3 = 0 \implies x_2 = 0$, quindi gli autovettori relativi all'autovalore $3$ sono tutti e soli i vettori della forma
$((\alpha),(0),(0))$
dove $\alpha \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$.
$(A - 3I) x = O \iff \{(-2 x_2 + 5 x_3 = 0),(-2 x_2 + 4x_3 = 0),(-x_2 + 2 x_3 = 0):}$
Dalla seconda e dalla terza si ottiene $x_2 = 2 x_3$, sostituendo nella prima si trova $-4 x_3 + 5 x_3 = 0 \implies x_3 = 0 \implies x_2 = 0$, quindi gli autovettori relativi all'autovalore $3$ sono tutti e soli i vettori della forma
$((\alpha),(0),(0))$
dove $\alpha \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$.
quindi ad esempio io potrei assegnare valore 1 ad alfa e ottenere l'autovettore $((1),(0),(0))$ giusto?
poi giusto che ci siamo..io per la matrice seguente :
$C=((0,6,3),(-1,5,1),(-1,2,4))$
ho trovato che ha un autovalore uguale a 3 con molteplicità algebrica 3....l'autovettore in questo caso quale sarebbe?
poi giusto che ci siamo..io per la matrice seguente :
$C=((0,6,3),(-1,5,1),(-1,2,4))$
ho trovato che ha un autovalore uguale a 3 con molteplicità algebrica 3....l'autovettore in questo caso quale sarebbe?
"jin85":
quindi ad esempio io potrei assegnare valore 1 ad alfa e ottenere l'autovettore $((1),(0),(0))$ giusto?
Sì, questo è un autovettore relativo a $3$.
"jin85":
poi giusto che ci siamo..io per la matrice seguente :
$C=((0,6,3),(-1,5,1),(-1,2,4))$
ho trovato che ha un autovalore uguale a 3 con molteplicità algebrica 3....l'autovettore in questo caso quale sarebbe?
Prova tu ora a scrivere i passaggi, tanto il procedimento è lo stesso di prima.
io il procedimento sul quaderno l'ho fatto e mi verrebbe un possibile autovettore:
$((3),(1),(1))$
giusto?
$((3),(1),(1))$
giusto?
$C ((3),(1),(1)) = ((9),(3),(3))$
Quindi effettivamente quello è un autovettore relativo a $3$. Se $3$ ha molteplicità geometrica $1$ allora non ci sono altri autovettori linearmente indipendenti da quello, altrimenti vanno trovati.
Quindi effettivamente quello è un autovettore relativo a $3$. Se $3$ ha molteplicità geometrica $1$ allora non ci sono altri autovettori linearmente indipendenti da quello, altrimenti vanno trovati.
"Tipper":
$C ((3),(1),(1)) = ((9),(3),(3))$
Quindi effettivamente quello è un autovettore relativo a $3$. Se $3$ ha molteplicità geometrica $1$ allora non ci sono altri autovettori linearmente indipendenti da quello, altrimenti vanno trovati.
3 ha molteplicità algebrica uguale a 3...la molteplicità geometrica come la faccio a verificare?Inoltre se invece di scrivere quel particolare autovettore...vorrei scrivere più in generale(come hai fatto tu con alfa prima)...cm dovrei fare?
Per determinare la molteplicità geometrica dell'autovalore $3$ devi studiare il sistema
$(C - 3 I)((x_1),(x_2),(x_3)) = ((0),(0),(0))$
Le soluzioni non banali del sistema sono tutti e soli gli autovettori relativi a $3$. Prova a impostare il sistema, così si vede cosa viene fuori.
A occhio direi che molteplicità geometrica di $3$ è $2$, se però fai il conto magari te ne accorgi meglio.
$(C - 3 I)((x_1),(x_2),(x_3)) = ((0),(0),(0))$
Le soluzioni non banali del sistema sono tutti e soli gli autovettori relativi a $3$. Prova a impostare il sistema, così si vede cosa viene fuori.
A occhio direi che molteplicità geometrica di $3$ è $2$, se però fai il conto magari te ne accorgi meglio.
La matrice (C-3I) è questa:
$C-3I=((-3,6,3),(-1,2,1),(-1,2,1))$
quindi il sistema impostato è il seguente:
$(C - 3I) x = O \iff \{(-3 x_1 + 6 x_2 + 3 x_3 = 0),(- x_1 + 2x_2+ x_3 = 0),(- x_1 + 2x_2+ x_3 = 0):}$
mmm..di qui cm faccio a capire la molteplicità
$C-3I=((-3,6,3),(-1,2,1),(-1,2,1))$
quindi il sistema impostato è il seguente:
$(C - 3I) x = O \iff \{(-3 x_1 + 6 x_2 + 3 x_3 = 0),(- x_1 + 2x_2+ x_3 = 0),(- x_1 + 2x_2+ x_3 = 0):}$
mmm..di qui cm faccio a capire la molteplicità
Tutte e tre le equazioni sono la stessa roba, quindi ne puoi trascurare due e considerare soltanto
$x_1 = 2 x_2 + x_3$
Posto $\alpha := x_2$ e $\beta := x_3$ si ottiene $x_1 = 2 \alpha + \beta$, di conseguenza un generico autovettore relativo a $3$ è
$((2 \alpha + \beta),(\alpha),(\beta))$
dove $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$, e $\alpha, \beta$ non contemporaneamente nulli. Dato che
$((2 \alpha + \beta),(\alpha),(\beta)) = \alpha ((2),(1),(0)) + \beta((1),(0),(1))$
allora la molteplicità geometrica dell'autovalore $3$ è due, e due autovettori linearmente indipendenti (che poi costituiscono una base del relativo autospazio) sono
$((2),(1),(0))$, $((1),(0),(1))$
$x_1 = 2 x_2 + x_3$
Posto $\alpha := x_2$ e $\beta := x_3$ si ottiene $x_1 = 2 \alpha + \beta$, di conseguenza un generico autovettore relativo a $3$ è
$((2 \alpha + \beta),(\alpha),(\beta))$
dove $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$, e $\alpha, \beta$ non contemporaneamente nulli. Dato che
$((2 \alpha + \beta),(\alpha),(\beta)) = \alpha ((2),(1),(0)) + \beta((1),(0),(1))$
allora la molteplicità geometrica dell'autovalore $3$ è due, e due autovettori linearmente indipendenti (che poi costituiscono una base del relativo autospazio) sono
$((2),(1),(0))$, $((1),(0),(1))$
ah quindi la molteplicità geometrica si vede da quanti autovettori linearmente indipendenti ci sono..capito ..grazie anche per questa dritta 
Sì: la molteplicità geometrica di un autovalore è la dimensione del relativo autospazio, quindi il numero di autovettori linearmente indipendenti ad esso relativo.
ciao ragazzi sono nuovo ho trovato questo post cercando, quindi spero di non recare disturbo se lo uppo un po'.
dunque io ho questa matrice
$((1,0,0),(2,2,0),(3,3,3))$
gli autovalori dovrebbero essere 3 e cioè $\lambda$ = 1, $\lambda$ = 2, $\lambda$ = 3.
ma gli autovettori quali sono?
grazie mille per l'attenzione.
ciao ciao
dunque io ho questa matrice
$((1,0,0),(2,2,0),(3,3,3))$
gli autovalori dovrebbero essere 3 e cioè $\lambda$ = 1, $\lambda$ = 2, $\lambda$ = 3.
ma gli autovettori quali sono?
grazie mille per l'attenzione.
ciao ciao
"Tipper":
Se $x = (x_1, x_2, x_3)^t$
$(A - 3I) x = O \iff \{(-2 x_2 + 5 x_3 = 0),(-2 x_2 + 4x_3 = 0),(-x_2 + 2 x_3 = 0):}$
Dalla seconda e dalla terza si ottiene $x_2 = 2 x_3$, sostituendo nella prima si trova $-4 x_3 + 5 x_3 = 0 \implies x_3 = 0 \implies x_2 = 0$, quindi gli autovettori relativi all'autovalore $3$ sono tutti e soli i vettori della forma
$((\alpha),(0),(0))$
dove $\alpha \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$.
quindi non e' diagonalizzabile giusto?visto che l'autospazio ha mg=1 e quella algebrica e' 3.
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