Calcolo angolo fra i vettori
Ciao,
volevo capire un ragionamento/procedimento
A seguire i dati dell'esercizio completo.
a) Determinare una rappresentazione cartesiana (e parametrica) della retta R passante per i punti
Po = (1, 1, 1) e P1 = (2, 2, -1)
Ho le rette cartesiane $x-y = 0$ e $2x+z-3 = 0$ (quelle parametriche non le inserisco).
b) Determinare l'equazione del piano ortogonale ad S e passante per P2 = (1, 2, 3)
Il piano è $x + y -2z -9 = 0$
Il punto c) chiede la distanza piano e punto P0. E va bene
Mentre la richiesta d) Retta P3 l'intersezione fra S e Piano calcolare l'angolo fra i vettori P3P0 e P3P2.
Ecco, per quanto riguarda la richiesta (d) vorrei capire se è possibile arrivarci tramite ragionamento, ovvero, poiché nella richiesta b trovo una equazione ortogonale, posso affermare che il risultato faccia 0, pertanto $cos(0) = pi/2$ ? Oppure sto fantasticando?
A questo punto il procedimento che vado ad effettuare è il seguente:
Intersezione tra piano e equ. parametriche delle rette (trovate nel punto a).
Pertanto il risultato che trovo è P3 = $[5/2, 5/2, -2]$
A questo punto però mi blocco perché non capisco come procedere.
Penso che bisogna trovare Px= P0 - P3 e Py = P2 -P3 e poi applicare la formula del angolo fra i vettori.
Ma non sono sicuro di questo.
Grazie.
volevo capire un ragionamento/procedimento
A seguire i dati dell'esercizio completo.
a) Determinare una rappresentazione cartesiana (e parametrica) della retta R passante per i punti
Po = (1, 1, 1) e P1 = (2, 2, -1)
Ho le rette cartesiane $x-y = 0$ e $2x+z-3 = 0$ (quelle parametriche non le inserisco).
b) Determinare l'equazione del piano ortogonale ad S e passante per P2 = (1, 2, 3)
Il piano è $x + y -2z -9 = 0$
Il punto c) chiede la distanza piano e punto P0. E va bene
Mentre la richiesta d) Retta P3 l'intersezione fra S e Piano calcolare l'angolo fra i vettori P3P0 e P3P2.
Ecco, per quanto riguarda la richiesta (d) vorrei capire se è possibile arrivarci tramite ragionamento, ovvero, poiché nella richiesta b trovo una equazione ortogonale, posso affermare che il risultato faccia 0, pertanto $cos(0) = pi/2$ ? Oppure sto fantasticando?
A questo punto il procedimento che vado ad effettuare è il seguente:
Intersezione tra piano e equ. parametriche delle rette (trovate nel punto a).
Pertanto il risultato che trovo è P3 = $[5/2, 5/2, -2]$
A questo punto però mi blocco perché non capisco come procedere.
Penso che bisogna trovare Px= P0 - P3 e Py = P2 -P3 e poi applicare la formula del angolo fra i vettori.
Ma non sono sicuro di questo.
Grazie.
Risposte
"Tower01":
Ecco, per quanto riguarda la richiesta (d) vorrei capire se è possibile arrivarci tramite ragionamento, ovvero, poiché nella richiesta b trovo una equazione ortogonale, posso affermare che il risultato faccia 0, pertanto $cos(0) = pi/2$ ? Oppure sto fantasticando?
Volendo si, ma non vedo perchè non fare il prodotto scalare fra i due vettori.
P.S. Il piano che hai trovato è sbagliato. Quello è il piano che passa per $P_2=(1,2,-3)$
"Bokonon":
[quote="Tower01"]
Ecco, per quanto riguarda la richiesta (d) vorrei capire se è possibile arrivarci tramite ragionamento, ovvero, poiché nella richiesta b trovo una equazione ortogonale, posso affermare che il risultato faccia 0, pertanto $cos(0) = pi/2$ ? Oppure sto fantasticando?
Volendo si, ma non vedo perché non fare il prodotto scalare fra i due vettori.
P.S. Il piano che hai trovato è sbagliato. Quello è il piano che passa per $P_2=(1,2,-3)$[/quote]
Si, scusami.
Errore mio, il punto P2 era (1,2 -3).
Il prodotto scalare si deve fare due volte? (e di conseguenza il calcolo dell'angolo?) ovvero
Chiedo questo anche per un esercizio similare che chiede di calcolare il prodotto scalare ma svolgendo il metodo analogo, non mi riesce. Quindi voglio capire se è un errore di calcoli oppure di impostazione.
Non ti capisco, non è nemmeno qualcosa su cui perdere tempo IMHO.
$P_3P_0=<3/2,3/2,-3> =v$
$P_3P_2=<3/2,1/2,1> =w$
Il prodotto scalare $v*w=0$ pertanto i due vettori sono ortogonali.
Questo risultato era atteso in quanto il primo vettore ha la medesima direzione della retta e il secondo una direzione del piano. Punto.
In generale applichi la formula derivante dal teorema del coseno $v*w=||v||*||w||*cos(alpha)$
Ma visto che $v*w=0$ allora $cos(alpha)=0$ (perchè la norma di un vettore è sempre positiva a meno che non sia il vettore nullo). Da cui $alpha=pi/2$
P.S. Non dirmi che facevi il prodotto scalare di due punti...
$P_3P_0=P_0-P_3$
$P_3P_0=<3/2,3/2,-3> =v$
$P_3P_2=<3/2,1/2,1> =w$
Il prodotto scalare $v*w=0$ pertanto i due vettori sono ortogonali.
Questo risultato era atteso in quanto il primo vettore ha la medesima direzione della retta e il secondo una direzione del piano. Punto.
In generale applichi la formula derivante dal teorema del coseno $v*w=||v||*||w||*cos(alpha)$
Ma visto che $v*w=0$ allora $cos(alpha)=0$ (perchè la norma di un vettore è sempre positiva a meno che non sia il vettore nullo). Da cui $alpha=pi/2$
P.S. Non dirmi che facevi il prodotto scalare di due punti...
$P_3P_0=P_0-P_3$
"Bokonon":
Non ti capisco, non è nemmeno qualcosa su cui perdere tempo IMHO.
$P_3P_0=<3/2,3/2,-3> =v$
$P_3P_2=<3/2,1/2,1> =w$
Il prodotto scalare $v*w=0$ pertanto i due vettori sono ortogonali.
Questo risultato era atteso in quanto il primo vettore ha la medesima direzione della retta e il secondo una direzione del piano. Punto.
In generale applichi la formula derivante dal teorema del coseno $v*w=||v||*||w||*cos(alpha)$
Ma visto che $v*w=0$ allora $cos(alpha)=0$ (perchè la norma di un vettore è sempre positiva a meno che non sia il vettore nullo). Da cui $alpha=pi/2$
P.S. Non dirmi che facevi il prodotto scalare di due punti...
$P_3P_0=P_0-P_3$
No no, svolgevo esattamente in questo modo.
Ma in un altro esercizio dove dopo aver determinato Q, $Q = [-17/41, 18/41, -17/41]$ , bisognava calcolare il prodotto scalare QP0 e QP2, dove P0 = ( 3, 3, 3) e P2 = (1, 2, -3).
Svolgendo utilizzando la stessa logica mi vengono numeri decisamente alti.
E anche qui il risultato è 0.
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