Calcolo 2-forma e orientazione indotta
Sia $alpha=xdy^^dz+ydx^^dz+zdx^^dy$ una 2-forma su $RR^3$. Siano $X=(xyz, sin(x+y),y^2-z^2)$ e $Y=(1,1,1)$ due campi di vettori, calcolare $alpha(X,Y)$. Successivamente data $beta=dx+dy+dz$ calcolare $alpha^^beta$ e dire se definisce un'orientazione su $RR^3$.
Il mio primo dubbio consiste nel capire cosa si intende per calcolare una 2-forma lungo dei campi. Cioè so che posso identificare ogni 2-forma differenziabile con una funzione $F:chi(RR^3)xxchi(RR^3)rarrC^{infty}(RR^3)$ multilineale e alternata dove $chi(RR^3)$ è lo spazio dei campi vettoriali differenziabili, ma nella pratica come dovrei eseguire il calcolo?
Successivamente, per il calcolo di $alpha^^beta$, siccome sono in $RR^3$ posso direttamente scrivere $omega:=alpha^^beta=xdy^^dz^^dx+ydx^^dz^^dy+zdx^^dy^^dz=(x-y+z)dx^^dy^^dz$ tenendo conto che $dx_i ^^ dx_i=0$. Per verificare se essa induce un'orientazione dovrei verificare se $omega_p!=0$ $AAp in RR^3$ e $omega_p=(x-y+z)(dx^^dy^^dz)_p!=0$ $AAp in RR^3$ visto che $dx^^dy^^dz$ induce un'orientazione su $RR^3$; è corretto ragionare così? Mi verrebbe da dire di sì, ma non sono convintissimo, non so se ho capito bene cosa si intende per $omega_p!=0$.
Il mio primo dubbio consiste nel capire cosa si intende per calcolare una 2-forma lungo dei campi. Cioè so che posso identificare ogni 2-forma differenziabile con una funzione $F:chi(RR^3)xxchi(RR^3)rarrC^{infty}(RR^3)$ multilineale e alternata dove $chi(RR^3)$ è lo spazio dei campi vettoriali differenziabili, ma nella pratica come dovrei eseguire il calcolo?
Successivamente, per il calcolo di $alpha^^beta$, siccome sono in $RR^3$ posso direttamente scrivere $omega:=alpha^^beta=xdy^^dz^^dx+ydx^^dz^^dy+zdx^^dy^^dz=(x-y+z)dx^^dy^^dz$ tenendo conto che $dx_i ^^ dx_i=0$. Per verificare se essa induce un'orientazione dovrei verificare se $omega_p!=0$ $AAp in RR^3$ e $omega_p=(x-y+z)(dx^^dy^^dz)_p!=0$ $AAp in RR^3$ visto che $dx^^dy^^dz$ induce un'orientazione su $RR^3$; è corretto ragionare così? Mi verrebbe da dire di sì, ma non sono convintissimo, non so se ho capito bene cosa si intende per $omega_p!=0$.
Risposte
Dal momento che \(\alpha = \left(\begin{smallmatrix}
0 & \frac{z}{2} & \frac{y}{2} \\
-\frac{z}{2} & 0 & \frac{x}{2} \\
-\frac{y}{2} & -\frac{x}{2} & 0 \\
\end{smallmatrix}\right)\), basta fare
\[\left(\begin{array}{ccc}
x y z &
\sin (x+y) &
y^2-z^2
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{ccc}
0 & \frac{z}{2} & \frac{y}{2} \\
-\frac{z}{2} & 0 & \frac{x}{2} \\
-\frac{y}{2} & -\frac{x}{2} & 0 \\
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1 \\
\end{array}\right)
\] che fa \(-\frac{1}{2} x \left(y^2-z^2\right)+\frac{1}{2} x y^2 z+\frac{1}{2} x y z^2-\frac{1}{2} z \sin (x+y)+\frac{1}{2} x \sin (x+y)-\frac{1}{2} y \left(y^2-z^2\right)\).
0 & \frac{z}{2} & \frac{y}{2} \\
-\frac{z}{2} & 0 & \frac{x}{2} \\
-\frac{y}{2} & -\frac{x}{2} & 0 \\
\end{smallmatrix}\right)\), basta fare
\[\left(\begin{array}{ccc}
x y z &
\sin (x+y) &
y^2-z^2
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{ccc}
0 & \frac{z}{2} & \frac{y}{2} \\
-\frac{z}{2} & 0 & \frac{x}{2} \\
-\frac{y}{2} & -\frac{x}{2} & 0 \\
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1 \\
\end{array}\right)
\] che fa \(-\frac{1}{2} x \left(y^2-z^2\right)+\frac{1}{2} x y^2 z+\frac{1}{2} x y z^2-\frac{1}{2} z \sin (x+y)+\frac{1}{2} x \sin (x+y)-\frac{1}{2} y \left(y^2-z^2\right)\).
Ok il discorso è chiarissimo, grazie mille, ma cosa ti permette di scrivere $alpha$ come matrice, ed in quel modo?
Se \(V\) ha dimensione 3, \(\bigwedge^2(V)\cong V\) perché \(d=3\) è l'unica soluzione di \(\binom{d}{2}=d\).
Hai già visto questo isomorfismo nella seguente forma, probabilmente: dato un vettore \(v\) di \(V\), esiste un'unica mappa lineare alternante \(A_v\) con la proprietà che \(A_vw=v\land w\).
Hai già visto questo isomorfismo nella seguente forma, probabilmente: dato un vettore \(v\) di \(V\), esiste un'unica mappa lineare alternante \(A_v\) con la proprietà che \(A_vw=v\land w\).
Perfetto quindi il ragionamento sarebbe: $alpha:RR^3 rarr Lambda^2(RR^3)-=RR^3$ e posso identificarla con una mappa lineare alternata $A_alpha:RR^3xRR^3 rarr RR$ ovvero una forma bilineare antisimmetrica in maniera unica.
I calcoli per ricavare la matrice invece come li hai svolti? Cioè qual è il significato di $dy^^dz$?
I calcoli per ricavare la matrice invece come li hai svolti? Cioè qual è il significato di $dy^^dz$?
"Lorz":
qual è il significato di $dy^^dz$?
E' la classe di equivalenza di \(dy\otimes dz\) nel quoziente \(TV/\langle a\otimes b + b\otimes a\rangle = \bigwedge V\).
Chiedo scusa se riporto in auge questo miotopic di qualche giorno fa, volevo solo chiedervi delucidazioni sull'orientazione indotta da una 3-forma su $RR^3$. E' corretto il mio ragionamento? Se no, potreste gentilmente spiegarmi dove sbaglio e portarmi sulla retta via 
?
?
Beh, ti ho risposto, no?
"Lorz":
Per verificare se essa induce un'orientazione dovrei verificare se $omega_p!=0$ $AAp in RR^3$ e $omega_p=(x-y+z)(dx^^dy^^dz)_p!=0$ $AAp in RR^3$ visto che $dx^^dy^^dz$ induce un'orientazione su $RR^3$; è corretto ragionare così? Mi verrebbe da dire di sì, ma non sono convintissimo, non so se ho capito bene cosa si intende per $omega_p!=0$.
Mi riferisco a questa parte
Beh, \(x-y+z\) si annulla in molti punti...
Però è qui che sorge il mio dubbio: $omega : RR^3 rarr Lambda^3(RR^3)$ e quindi $omega_p: RR^3 xx RR^3 xx RR^3 rarr RR$ quindi dire che $omega$ definisce un'orientazione significa dire che $omega_p !=0$ $ AAp in RR^3$ e cioè che $AA p in RR^3$ $omega_p$ non è la forma nulla, ed in effetti questo si verifica. Oppure bisogna intendere che $omega$ definisce un'orientazione se $AA p in RR^3 omega_p != 0$ ovunque?
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