Calcolare vettore direzione di discesa con metodo di Newton
Salve, ho un dubbio sul metodo di Newton.
Ho una funzione e un punto di partenza Xo. Calcolo il gradiente e l'Hessiana e poi li ricalcolo in Xo. Come ottengo il vettore direzione di discesa? Basta dimostrare che l'inversa dell'Hessiana è definita positiva???
Grazie
PS: Dato che ho un altro piccolo dubbietto...senza aprire un altra discussione: se ho una matrice 3x3 di tutti 0 e 3 come elementi sulla diagonale, la molteplicità algebrica degli autovalori è 3 in quanto l'unico autovalore è 3 che si ripete 3 volte. Per quanto riguarda invece gli autovettori associati, quanto è la molteplicità geometrica dell'autovalore 3 ?? Zero è consderato autovettore??
Ho una funzione e un punto di partenza Xo. Calcolo il gradiente e l'Hessiana e poi li ricalcolo in Xo. Come ottengo il vettore direzione di discesa? Basta dimostrare che l'inversa dell'Hessiana è definita positiva???
Grazie
PS: Dato che ho un altro piccolo dubbietto...senza aprire un altra discussione: se ho una matrice 3x3 di tutti 0 e 3 come elementi sulla diagonale, la molteplicità algebrica degli autovalori è 3 in quanto l'unico autovalore è 3 che si ripete 3 volte. Per quanto riguarda invece gli autovettori associati, quanto è la molteplicità geometrica dell'autovalore 3 ?? Zero è consderato autovettore??
Risposte
"Play01":
Salve, ho un dubbio sul metodo di Newton.
Ho una funzione e un punto di partenza Xo. Calcolo il gradiente e l'Hessiana e poi li ricalcolo in Xo. Come ottengo il vettore direzione di discesa? Basta dimostrare che l'inversa dell'Hessiana è definita positiva???
Grazie
L'Hessiana mi sembra che non c'entri nulla qui. Sostanzialmente si applica il metodo di Newton a funzioni vettoriali.
Il processo iterativo è
$\bb(x_1)=\bb(x_0)-(\bbf(\bb(x_0)))/(\nabla \bbf(\bb(x_0)))$
$\bb(x_0)=\bb(x_1)$
e si ripete.
La convergenza con funzioni vettoriali è però una questione più delicata che nel caso scalare. Non so dirti altro purtroppo.
Con funzioni "semplici" il metodo converge a uno zero (tieni conto che lo zero può essere una retta, una superficie, ecc...)
PS: Dato che ho un altro piccolo dubbietto...senza aprire un altra discussione: se ho una matrice 3x3 di tutti 0 e 3 come elementi sulla diagonale, la molteplicità algebrica degli autovalori è 3 in quanto l'unico autovalore è 3 che si ripete 3 volte. Per quanto riguarda invece gli autovettori associati, quanto è la molteplicità geometrica dell'autovalore 3 ?? Zero è consderato autovettore??
La molteplcità dell' a.va. 3 è 3.
I 3 autovettori sono $(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$
Il vettore nullo è sempre un autovettore, quindi non lo si considera mai.
Grazie mille!!! Mi è stato molto utile!!
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