Calcolare versore rispetto a terna ortonormale

[acvtre]

Sono quasi imbarazzato a porvi un tale quesito che si addice di più ad uno studente delle superiori piuttosto che universitario, eppure non riesco a venirne fuori.
In sostanza si deve esprimere le componenti del versore di una terna ortonormale fissata nello spazio rispetto ad una terna solidale ad un rigido.
L'immagine credo riesco a chiarirvi meglio le idee:
Si nota la terna Oxyz nello spazio e la terna Gijk solidale alla retta "s". Devo esprimere il versore e3, quindi versore dell'asse z, rispetto alla terna Gijk.

Grazie.

[lordb]

Bhè se ho capito bene tu vuoi ottenere le componenti di un vettore rispetto ad una base.

La cosa è molto semplice, si può fare con una matrice di cambiamento di base ma non è necessario.

Supponiamo un vettore $vec v=(v_x,v_y,v_z) in RR^3$ (in questo caso il tuo $v$ è $hat e_3$), sia $B=(hat e_1,hat e_2,hat e_3)$ la base canonica di $RR^3$, si ha che: $vec v-=_(B)(v_x,v_y,v_z)$. Ora abbiamo un'altra base $G=(vec g_1,vec g_2,vec g_3)$, siano $alpha,beta,gamma in RR|vec v-=_(G)(alpha,beta,gamma)$.

Dalla definizione si ha che:

$vec v = alpha*vecg_1+beta*vecg_2+gamma*vecg_3$

Vai avanti tu

[acvtre]

Ok, però continua a non venirmi il risultato corretto. In quanto gamma dovrebbe essere 0, invece alfa e beta rispettivamente sin e cos dell'angolo.
Non so, non riesco proprio a realizzare il ragionamento e come apparirebbe il tutto graficamente.

Grazie per la tempestiva risposta.