Calcolare una base per il nucleo e per immagine?
ciao a tutti questo è un esercizio di geometria:
''calcolare una base per il nucleo e una base per l'immagine dell'endomorfismo T : R^3 ---> R^3 definito ponendo:
T(X,Y,Z) = (-6X+4Y+Z, 4X-6Y+Z, 0)''
allora la base per il nucleo sembra facile e ho trovato (basta usare la formula A (x) = 0 ), ma per quanto riguarda la base per immagine non riesco a trovare i vettori linearmente indipendenti, a me risultano che tutti i tre vettori (-6,4,0) , (4,-6,0) , (1,1,0) sono indipendenti, mentre il libro dice che il vettore (-6,4,0) non è indipendente e non lo prende nelle base, perche ?
grazie
''calcolare una base per il nucleo e una base per l'immagine dell'endomorfismo T : R^3 ---> R^3 definito ponendo:
T(X,Y,Z) = (-6X+4Y+Z, 4X-6Y+Z, 0)''
"PAM":
$f:R^3->R^3$$((-6,4,1),(4,-6,1),(0,0,0))$ .
allora la base per il nucleo sembra facile e ho trovato (basta usare la formula A (x) = 0 ), ma per quanto riguarda la base per immagine non riesco a trovare i vettori linearmente indipendenti, a me risultano che tutti i tre vettori (-6,4,0) , (4,-6,0) , (1,1,0) sono indipendenti, mentre il libro dice che il vettore (-6,4,0) non è indipendente e non lo prende nelle base, perche ?
grazie
Risposte
Come fai a dire che sono indipendenti?!
Se provi a calcolare il determinante oppure a ridurla con l'eliminazione di Gauss ti accorgi subito che non sono lin. ind.
Se provi a calcolare il determinante oppure a ridurla con l'eliminazione di Gauss ti accorgi subito che non sono lin. ind.
Come già ha detto Emar , è evidente che non si tratta di 3 vettori linearmente indipendenti.
Una prova che puoi fare e mettere i tre vettori in colonna , avrai la matrice A , formata appunto dai tre vettori.
L'ultima riga è (0, 0 , 0 ) dunque la matrice A avrà necessariamente rango minore di 3 ( il suo determinante è evidentemente zero).
Prendendo una sotto matrice quadrata [2x2], potrai verificare che il suo determinante è diverso da zero e dunque il rango di A è 2. Di conseguenza l'immagine di A sarà formata da solo due vettori linearmente indipendenti di R3.
In conclusione il tuo libro non mette il vettore (-6,4,0 ) nella base dell' immagine, perché è combinazione lineare degli altri due, e questo lo so si vede MOLTO facilmente.
Una prova che puoi fare e mettere i tre vettori in colonna , avrai la matrice A , formata appunto dai tre vettori.
L'ultima riga è (0, 0 , 0 ) dunque la matrice A avrà necessariamente rango minore di 3 ( il suo determinante è evidentemente zero).
Prendendo una sotto matrice quadrata [2x2], potrai verificare che il suo determinante è diverso da zero e dunque il rango di A è 2. Di conseguenza l'immagine di A sarà formata da solo due vettori linearmente indipendenti di R3.
In conclusione il tuo libro non mette il vettore (-6,4,0 ) nella base dell' immagine, perché è combinazione lineare degli altri due, e questo lo so si vede MOLTO facilmente.
grazie mille, è che quando facevo questo esercizio ero un po in ''balla'', quindi non riuscivo a trovare.
basta moltiplicare per 2 l'ultima colonna e per -1 la seconda e la prima colonna diventa combinazione lineare delle ultime due colonne, giusto vero?, [sono anche oggi ancora fuori di testa
]
basta moltiplicare per 2 l'ultima colonna e per -1 la seconda e la prima colonna diventa combinazione lineare delle ultime due colonne, giusto vero?, [sono anche oggi ancora fuori di testa
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Si giusto
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