Calcolare una base ortogonale per l’immagine della trasformazione lineare f
Salve a tutti, penso di aver capito e di aver risolto l'esercizio correttamente , non combacia però con la soluzione dell'esercizio (che dovrebbe essere giusta) . Potete aiutarmi a scovare l'eventuale mio errore ?
l'esercizio è questo :
Calcolare una base ortogonale per l’immagine dellatrasformazione lineare f : R3 → R3 definita ponendo
f(x,y,z) = (2x+y+3z,x+z,10y+10z)
per ogni (x,y,z) di R3
allora la mia soluzione parte nel trovare l'immagine della f:
Im f = {(a,b,c)∈R3 | ∃(x,y,z)∈R3 , f(x,y,z) = (a,b,c) }
successivamente creo la matrice associata :
2 1 3 | a
1 0 1 | b
0 10 10 | c
la riduco con gauss :
1 0 1 |a
0 1 1 |b
0 0 0 |c
e essendo il rango della matrice A = 2 quindi una base di A sono le prime due colonne indipendenti;
posso dire che (a,b,c) ∈ Imf se ∈ C(A) ( spazio colonne di A)
quindi:
(a) (2) (1)
(b )= s( 1 ) + w ( 0)
(c ) (0 ) (10)
le basi di A sono v1= (2,1,0) e v2= (1,0,10)
ora trovo una base ortogonale con G-S :
w1 = v1 = (2,1,0);
w2 = v2 - (v2*w1)*w1 = (2,1,0) - 2(2,1,0) = (-3,-2,10);
base ort. = {w1,w2}
allora la base w2 non combacia !! ?????? perche dovrebbe essere (1,-2,50)
l'esercizio è questo :
Calcolare una base ortogonale per l’immagine dellatrasformazione lineare f : R3 → R3 definita ponendo
f(x,y,z) = (2x+y+3z,x+z,10y+10z)
per ogni (x,y,z) di R3
allora la mia soluzione parte nel trovare l'immagine della f:
Im f = {(a,b,c)∈R3 | ∃(x,y,z)∈R3 , f(x,y,z) = (a,b,c) }
successivamente creo la matrice associata :
2 1 3 | a
1 0 1 | b
0 10 10 | c
la riduco con gauss :
1 0 1 |a
0 1 1 |b
0 0 0 |c
e essendo il rango della matrice A = 2 quindi una base di A sono le prime due colonne indipendenti;
posso dire che (a,b,c) ∈ Imf se ∈ C(A) ( spazio colonne di A)
quindi:
(a) (2) (1)
(b )= s( 1 ) + w ( 0)
(c ) (0 ) (10)
le basi di A sono v1= (2,1,0) e v2= (1,0,10)
ora trovo una base ortogonale con G-S :
w1 = v1 = (2,1,0);
w2 = v2 - (v2*w1)*w1 = (2,1,0) - 2(2,1,0) = (-3,-2,10);
base ort. = {w1,w2}
allora la base w2 non combacia !! ?????? perche dovrebbe essere (1,-2,50)
Risposte
"mikdita":
w2 = v2 - (v2*w1)*w1 = (2,1,0) - 2(2,1,0) = (-3,-2,10);
la formula corretta da usare è $w_2 = v_2 - (v_2*w_1)/||w_1||^2 w_1 = (1/5, -2/5 , 10)$
che poi moltiplica per 5 per levare le frazioni.
P.S. il tuo comunque non poteva essere giusto, anche se magari la soluzione non combacia può infatti sempre essere giusto. non poteva essere corretto perchè i tuoi vettori non erano ortogonali.
grazie della risposta. avevo sbagliato la formula e come lei ha detto , la prova del 9 è quella di vedere se i due vettori sono ortonormali!
La disturbo per un ultimo problema , allora:
Calcolare una base ortogonale per il nucleo della trasformazione lineare f : R3 → R3 definita ponendo
f(x, y, z) = ( g(x, y, z), −g(x, y, z), g(x, y, z) )
con g(x,y,z) = (-41x+2y+25z)
per ogni (x,y,z) di R3
allora io ho provato a risolverlo cosi:
il ker f = { (x,y,z) ∈R3 | f(x,y,z) = (0,0,0)}
quindi dobbiamo risolvere il sistema matriciale A*X = 0 la cui matrice A è :
-41 2 25
41 -2 -25
-41 2 25
si ha ( dopo la riduzione di gauss)
-41 2 25
0 0 0
0 0 0
quindi :
z = (41x - 2y )/ 25
quindi
il ker di f è costituito da (x,y,z) = s(1,0,41/25) + w(0,1,2/25) con s,w ∈ R
una base di kerf è {v1,v2} = {(1,0,41/25) ,(0,1,2/25)}
quindi secondo G-S avrò:
w1 = (1,0,41/25) dovrebbe venire (3,-1,5) ?? dove sbaglio
w2 = ... dovrebbe venire (1,8,1)
ti ringrazio per la sua disponibilità.
La disturbo per un ultimo problema , allora:
Calcolare una base ortogonale per il nucleo della trasformazione lineare f : R3 → R3 definita ponendo
f(x, y, z) = ( g(x, y, z), −g(x, y, z), g(x, y, z) )
con g(x,y,z) = (-41x+2y+25z)
per ogni (x,y,z) di R3
allora io ho provato a risolverlo cosi:
il ker f = { (x,y,z) ∈R3 | f(x,y,z) = (0,0,0)}
quindi dobbiamo risolvere il sistema matriciale A*X = 0 la cui matrice A è :
-41 2 25
41 -2 -25
-41 2 25
si ha ( dopo la riduzione di gauss)
-41 2 25
0 0 0
0 0 0
quindi :
z = (41x - 2y )/ 25
quindi
il ker di f è costituito da (x,y,z) = s(1,0,41/25) + w(0,1,2/25) con s,w ∈ R
una base di kerf è {v1,v2} = {(1,0,41/25) ,(0,1,2/25)}
quindi secondo G-S avrò:
w1 = (1,0,41/25) dovrebbe venire (3,-1,5) ?? dove sbaglio
w2 = ... dovrebbe venire (1,8,1)
ti ringrazio per la sua disponibilità.
"mikdita":
grazie della risposta. avevo sbagliato la formula e come lei ha detto , la prova del 9 è quella di vedere se i due vettori sono ortonormali!
figurati non c'è problema ma ti prego di non darmi del lei! ho solo 21 anni!
comunque se chiede una base ortogonale non è necessario che siano anche normalizzati quindi basta verificare l'ortogonalità.per il secondo problema l'errore, se non è di battitura è qui:
"mikdita":
{v1,v2} = {(1,0,41/25) ,(0,1,2/25)}
il secondo vettore dovrebbe essere $v_2 = ((0),(1),(-2/25))$
P.S. metti le formule tra il simbolo $ che sono molto più leggibili!
oh grande ! 21 anni e dai ripetizioni ai tuoi coetanei! 
grazie per le risposte, ti sono molto grato!
cmq il problemone è che la base ortogonale dell'ultimo problema che ti ho scritto è {( (3,-1,5) ,(1,8,1) } e a me non viene, non capisco dove sbaglio.
grazie per le risposte, ti sono molto grato!
cmq il problemone è che la base ortogonale dell'ultimo problema che ti ho scritto è {( (3,-1,5) ,(1,8,1) } e a me non viene, non capisco dove sbaglio.
sinceramente mi spiace ma non trovo nemmeno io nessun errore nel tuo ragionamento. secondo me se aggiusti i calcoli e se sei sicuro di aver scritto correttamente la f, allora anche il tuo metodo dovrebbe andar bene.
Però scusate una cosa.
Ortogonale rispetto a quale forma bilineare simmetrica?
Ortogonale rispetto a quale forma bilineare simmetrica?
vabene grazie mille.
ascolta , scusami se sono un pò ossessivo , ma non so proprio a chi chiedere.
non riesco a risolvere questo esercizio, non so proprio da dove partire, mi potresti aiutare?
ascolta , scusami se sono un pò ossessivo , ma non so proprio a chi chiedere.
non riesco a risolvere questo esercizio, non so proprio da dove partire, mi potresti aiutare?
"anto_zoolander":
Ortogonale rispetto a quale forma bilineare simmetrica?
ah in effetti non ci avevo nemmeno pensato. dato che non ha riportato nulla ho dato per scontato fosse il canonico di $RR^n$. però è anche strano che dal sistema non si riesca a far saltare fuori $v_1$ che tanto con G-S resta intatto.
per l'altro esercizio..
usa la definizione di prodotto scalare, verifica quindi se è:
- lineare
- simmetrico
- definito positivo.
da questo puoi imporre delle condizioni sul parametro.
non ho capito il ruolo di a,b però. devi fissare due valori a caso e poi svolgere l'esercizio o vanno considerati anch'essi come parametri? a me sembra la prima ma vorrei una conferma.
devi fissare due valori a caso .
puoi gentilmente svolgermelo?
puoi gentilmente svolgermelo?
fisso $a=b=3$
allora il prodotto scalare diventa: $(x_1 x_2) * ( ( 7 , 2+t-t^3 ),( 2t^2 , 7 ) ) * ((y_1),(y_2)) = 7x_1 y_1 +(2-t^3+t)x_1 y_2 +7x_2y_2+2t^2 x_2y_1$
- linearità
additività:
devo verificare che $g(x+z,y)=g(x,y)+g(z,y)$
applicandolo al nostro prodotto scalare abbiamo
e questo vale $AA t in RR$
omogeneità, $g(\lambda x, y)= lambda g(x,y)$
qui
sempre valido $AA t$
- simmetria, $g(x,y)=g(y,x)$
$g(y,x)=7 y_1x_1 +(2-t^3+t) y_2 x_1+7y_2x_2+2t^2y_1x_2 = g(x,y)$ $AA t$
- definita positività
applico il criterio di Sylvester alla matrice.
$A_1 = 7 > 0 rArr \text{ok}$
$A_2 = t^5-t^3-2t^2+49$ è da questa condizione che trovi delle restrizioni sul parameetro. infatti per essere definita positiva la matrice deve essere $t^5-t^3-2*t^2+49 > 0$ che da un valore approssimato di $t > -2.18574$
allora il prodotto scalare diventa: $(x_1 x_2) * ( ( 7 , 2+t-t^3 ),( 2t^2 , 7 ) ) * ((y_1),(y_2)) = 7x_1 y_1 +(2-t^3+t)x_1 y_2 +7x_2y_2+2t^2 x_2y_1$
- linearità
additività:
devo verificare che $g(x+z,y)=g(x,y)+g(z,y)$
applicandolo al nostro prodotto scalare abbiamo
$7(x_1+z_1) y_1 +(2-t^3+t)(x_1+z_1) y_2 +7(x_2+z_2)y_2+2t^2 (x_2+z_2)y_1 = \text{conti} =
(7x_1y_1+(2-t^3+t)x_1y_2+7x_2y_2+2t^2x_2y_1)+(7z_1y_1+(2-t^3+t)z_1y_2+7z_2y_2+2t^2z_2y_1)=
g(x,y)+g(z,y)$
(7x_1y_1+(2-t^3+t)x_1y_2+7x_2y_2+2t^2x_2y_1)+(7z_1y_1+(2-t^3+t)z_1y_2+7z_2y_2+2t^2z_2y_1)=
g(x,y)+g(z,y)$
e questo vale $AA t in RR$
omogeneità, $g(\lambda x, y)= lambda g(x,y)$
qui
$7(\lambda x_1) y_1 +(2-t^3+t)(\lambda x_1) y_2 +7(\lambda x_2)y_2+2t^2 (\lambda x_2)y_1=
\lambda (7x_1 y_1 +(2-t^3+t)x_1 y_2 +7x_2y_2+2t^2 x_2y_1 ) =
\lambda g(x,y)$
\lambda (7x_1 y_1 +(2-t^3+t)x_1 y_2 +7x_2y_2+2t^2 x_2y_1 ) =
\lambda g(x,y)$
sempre valido $AA t$
- simmetria, $g(x,y)=g(y,x)$
$g(y,x)=7 y_1x_1 +(2-t^3+t) y_2 x_1+7y_2x_2+2t^2y_1x_2 = g(x,y)$ $AA t$
- definita positività
applico il criterio di Sylvester alla matrice.
$A_1 = 7 > 0 rArr \text{ok}$
$A_2 = t^5-t^3-2t^2+49$ è da questa condizione che trovi delle restrizioni sul parameetro. infatti per essere definita positiva la matrice deve essere $t^5-t^3-2*t^2+49 > 0$ che da un valore approssimato di $t > -2.18574$
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