Calcolare, nucleo, immagine, suriettività o iniettività e matrice associata

[giulio013]

Sapendo che f e un’applicazione lineare di $ R^3 $ in $ R[x]_<=_3 $ tale che $ f((1, 0, 1)) −1 + 2x −x^2 + x^3 $ , $ f((1, 1, 2)) = 4x + x^3 $ e $ f((0, 0, 1)) = 2x − x^2 $ dire perché e come si può determinare f((a1, a2, a3)) per ogni vettore (a1, a2, a3) di $ R^3 $ . Inoltre:
1) Determinare l'immagine ed il nucleo di Kerf di f;
2) Dire se l'applicazione è iniettiva, suriettiva e perché;
3) scrivere la matrice associata a f nei riferimenti $ B = ((1, 0, 1),(0, 0, 1),(0, 1, 1)) $ e $ B' = (1, 1 + x, −x^2, x + x^3) $ .

- dire perché e come si può determinare f((a1, a2, a3)) per ogni vettore (a1, a2, a3) di $ R^3 $ - questa parte non ho capito cosa mi chiede.
Per calcolarmi il nucleo ed immagine faccio la riduzione gaussiana:

$ ( ( 1, 0 , 1 ),( 0 , -1 , -1 ),( 0 , 0 , 1 ) ) $

Posto il sistema uguale a zero per trovarmi il nucleo e trovo il vettore $ (0,0,0) $ ciò significa che non ha nucleo? Oppure che il vettore nullo è il suo nucleo?
L'immagine è data dai vettori span, che in sono dati dai vettori linearmente indipendenti quindi i vettori delle prime due colonne? Suppongo che l'immagine abbia dimensione 2 quindi.
Per sapere se iniettiva trovo il rango della matrice che è 3 che è uguale alla dimensione dell'immagine (in contrasto con l'affermazione precedente. So che se il rango ha dimensione uguale alla dimensione dello spazio di partenza è iniettiva (come in questo caso, altrimenti è suriettiva).
La matrice associata è una cosa che ancora non ho capito...

Corretto?

[feddy]

"giulio0":dire perché e come si può determinare f((a1, a2, a3)) per ogni vettore (a1, a2, a3) di R3 - questa parte non ho capito cosa mi chiede.

Conosci l'azione di $f$ su tre vettori in $RR^3$... non è che per caso sono indipendenti ? Se sì, cosa puoi dire? (guarda sul libro di teoria)

"giulio0":Posto il sistema uguale a zero per trovarmi il nucleo e trovo il vettore (0,0,0) ciò significa che non ha nucleo? Oppure che il vettore nullo è il suo nucleo?

Il nucleo è un sottospazio vettoriale dello spazio di "partenza", in questo caso $RR^3$. Come fa a non esserci il nucleo? Se mai, si dice che è banale, cioè contiene solo il vettore nullo $([0,0,0])$. (E non lo scalare $0$).

"giulio0":L'immagine è data dai vettori span, che in sono dati dai vettori linearmente indipendenti quindi i vettori delle prime due colonne? Suppongo che l'immagine abbia dimensione 2 quindi.

La parte in rosso non so cosa voglia dire onestamente. E anche il resto della frase è poco chiaro. Innanzitutto, è bene farti notare che puoi evitare di supporre, anzi, puoi dire con certezza che l'immagine ha dimensione data da

$\dim (I_m(f)) = 3- \dim (\ker f)=3$

Anche qui, vedi thm. delle dimensioni. ( A patto che tu non abbia sbagliato i conti col nucleo).

"giulio0":Per sapere se iniettiva trovo il rango della matrice che è 3 che è uguale alla dimensione dell'immagine (in contrasto con l'affermazione precedente. So che se il rango ha dimensione uguale alla dimensione dello spazio di partenza è iniettiva (come in questo caso, altrimenti è suriettiva).

Da qui si vede che non studi la teoria. Se hai già mostrato che il nucleo è composto dal solo vettore nullo, cosa puoi dire?

Infine, per la matrice associata, ti consiglio fortemente di andare a leggerti ancora la teoria. Purtroppo in algebra lineare è fondamentale conoscere alcuni fatti in maniera cristallina, e non avere dubbi.