Calcolare nucleo ed immagine app lineare
mi trovo a risolvere un esercizio che dal punto di vista concettuale ho capito ma mi crea un paio di problemi nello svolgimento
sia data la seguente applicazione lineare $f:V->RR^(2,2)$ definita dalla seguente legge
$f(xv_1+yv_2+zv_3)=((x+y+2z,2kx+y+(2k+1)z),(x+2y+kz,-x+2y+z))$
dove $V=L(v_1,v_2)$
con $v_1=(1+i,1-i,1+i),v_2=(1,1,2)$ e $v_3=(i-1,i+1,i-1)$
per risolvere il seguente esercizio basta che sostituisco alla matrice al secondo membro i valori rispettivamente dei vettori $v_1,v_2$ e trovarmi così le immagini e poi calcolarmi la matrice e mettere il tutto in colonna...esatto?
please datemi almeno un accenno.tra tre giorni ho l'esame.
io credo che sia giusto il mio ragionamento.
sia data la seguente applicazione lineare $f:V->RR^(2,2)$ definita dalla seguente legge
$f(xv_1+yv_2+zv_3)=((x+y+2z,2kx+y+(2k+1)z),(x+2y+kz,-x+2y+z))$
dove $V=L(v_1,v_2)$
con $v_1=(1+i,1-i,1+i),v_2=(1,1,2)$ e $v_3=(i-1,i+1,i-1)$
per risolvere il seguente esercizio basta che sostituisco alla matrice al secondo membro i valori rispettivamente dei vettori $v_1,v_2$ e trovarmi così le immagini e poi calcolarmi la matrice e mettere il tutto in colonna...esatto?
please datemi almeno un accenno.tra tre giorni ho l'esame.
io credo che sia giusto il mio ragionamento.
Risposte
Non è per niente chiaro il tuo ragionamento.
Io ti consiglio di iniziare dal nucleo: se \(\mathbf{v} \in ker(f)\), allora quanto fa \(f(\mathbf{v})\) ?
Io ti consiglio di iniziare dal nucleo: se \(\mathbf{v} \in ker(f)\), allora quanto fa \(f(\mathbf{v})\) ?
forse è meglio che mostri i passaggi effettuati:
poi considero il vettore $v_2=(1,1,2)$
se sostituisco ad $x=1,y=1,z=2$ ottengo allora
$f(xv_1+yv_2+zv_3)=((6,6k+3),(3+2k,3))$
considero adesso il vettore $v_1=(1+i,1-i,1+i)$
ottengo allora
$f(xv_1+yv_2+zv_3)=((2i+4,4k+4ki+2),(ki+k+3-i,2-2i))$
a questo punto posso scrivermi la matrice associata all'applicazione
$M=((6,2i+4),(6k+3,4ki+4k+2),(3+2k,ki+k+3-i),(3,2-2i))$
poi considero il vettore $v_2=(1,1,2)$
se sostituisco ad $x=1,y=1,z=2$ ottengo allora
$f(xv_1+yv_2+zv_3)=((6,6k+3),(3+2k,3))$
considero adesso il vettore $v_1=(1+i,1-i,1+i)$
ottengo allora
$f(xv_1+yv_2+zv_3)=((2i+4,4k+4ki+2),(ki+k+3-i,2-2i))$
a questo punto posso scrivermi la matrice associata all'applicazione
$M=((6,2i+4),(6k+3,4ki+4k+2),(3+2k,ki+k+3-i),(3,2-2i))$
Ok, e fin qui è il Teorema di Rappresentazione. Ma ora? Come trovi il nucleo e l'immagine di una matrice?
"Raptorista":
Ok, e fin qui è il Teorema di Rappresentazione. Ma ora? Come trovi il nucleo e l'immagine di una matrice?
be ora è facile basta ridurre a gradini,calcolare il rango,ecc...questo lo so fare benissimo.il mio problema è arrivare alla matrice.cioè la matrice che ho ottenuto è giusta?la mia domanda é: quelle che ho ottenuto sono le immagini di una base di $V$?cioè io tra parentesi $xv_1+yv_2+zv_3$.non capisco questa notazione tra parentesi
Mmm.. Il tuo dubbio è lecito. A prima vista ho dato anche io per scontato che \(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3\) fossero linearmente indipendenti, anche se non è specificato, ma penso sia esattamente questo il caso.
La notazione \(f(x\mathbf{v}_1 + y\mathbf{v}_2 + z\mathbf{v}_3)\) è una notazione normalissima, se poni \(\mathbf{w} = x\mathbf{v}_1 + y\mathbf{v}_2 + z\mathbf{v}_3\) diventa \(f(\mathbf{w})\).
Però penso di non aver ancora ben chiaro cosa non ti è chiaro XD
La notazione \(f(x\mathbf{v}_1 + y\mathbf{v}_2 + z\mathbf{v}_3)\) è una notazione normalissima, se poni \(\mathbf{w} = x\mathbf{v}_1 + y\mathbf{v}_2 + z\mathbf{v}_3\) diventa \(f(\mathbf{w})\).
Però penso di non aver ancora ben chiaro cosa non ti è chiaro XD
"Raptorista":
Mmm.. Il tuo dubbio è lecito. A prima vista ho dato anche io per scontato che \(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3\) fossero linearmente indipendenti, anche se non è specificato, ma penso sia esattamente questo il caso.
La notazione \(f(x\mathbf{v}_1 + y\mathbf{v}_2 + z\mathbf{v}_3))\) è una notazione normalissima, se poni \(\mathbf{w} = x\mathbf{v}_1 + y\mathbf{v}_2 + z\mathbf{v}_3\) diventa \(f(\mathbf{w})\).
Però penso di non aver ancora ben chiaro cosa non ti è chiaro XD
be questo l'ho verificato io.$v_1,v_2$ sono linearmente indipendenti mentre $v_3$ è linearmente dipendente a $v_1,v_2$
verificato questo ottengo le immagini di una base?
Che pirla, mi ero perso la riga sotto dove dice che \(V = L(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2)\).
Ora ho capito un po' di più. Secondo me il conto che fai tu non è corretto: se fai \(f(\mathbf{v}_1)\) significa mettere, nella prima formula che hai scritto, \(x = 1, y = z = 0\) e sostituire nella matrice.
Ora ho capito un po' di più. Secondo me il conto che fai tu non è corretto: se fai \(f(\mathbf{v}_1)\) significa mettere, nella prima formula che hai scritto, \(x = 1, y = z = 0\) e sostituire nella matrice.
mmm qualcosa che non mi convince c'è.però continuo a non capire cosa.
quello che hai detto te non l'ho capito.$v_1=(1+i,1-i,1+i)$ quindi $x=z=1+i,y=1-i$.sostituisco questi valori alla matrice al secondo membro ed ottengo l'immagine.io credo che sia così perché è la stessa operazione che si fa quando si ha a che fare con le applicazioni definite per esempio in questa maniera $f(x,y,z)=(x,x+y,y+z)$.uno prende i valori della base e va a sostiture ad $x,y,z$
quello che hai detto te non l'ho capito.$v_1=(1+i,1-i,1+i)$ quindi $x=z=1+i,y=1-i$.sostituisco questi valori alla matrice al secondo membro ed ottengo l'immagine.io credo che sia così perché è la stessa operazione che si fa quando si ha a che fare con le applicazioni definite per esempio in questa maniera $f(x,y,z)=(x,x+y,y+z)$.uno prende i valori della base e va a sostiture ad $x,y,z$
"mazzy89":
$v_1=(1+i,1-i,1+i)$ quindi $x=z=1+i,y=1-i$
È qui il tuo errore: se dici che \(\mathbf{v}_1=(1+i,1-i,1+i)\) mi stai dicendo che \(\mathbf{v}_1 = (1 + i)\mathbf{e}_1 + (1 - i)\mathbf{e}_2 + (1 + i)\mathbf{e}_3\), cioè i numeri che sono coordinate di \(\mathbf{v}_1\) sono i coefficienti della base canonica oppure di un'altra base.
Diversamente, il vettore \[\mathbf{w} = x\mathbf{v}_1 + y\mathbf{v}_2 + z\mathbf{v}_3\] è espresso in coordinate rispetto a \(\mathbf{v}_1\) e \(\mathbf{v}_2\) e corrisponde a
\[\mathbf{w} = x ((1 + i)\mathbf{e}_1 + (1 - i)\mathbf{e}_2 + (1 + i)\mathbf{e}_3) + y\mathbf{v}_2 + z\mathbf{v}_3\]
A questo punto per \(\mathbf{v}_2\) valgono le stesse considerazioni mentre \(\mathbf{v}_3 = c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2\) per qualche \(c_1, c_2 \in \mathbb{R}\).
Per concludere, il vettore \(\mathbf{v}_1\) ha componenti riferite ad una certa base, mentre il vettore argomento della funzione ha coordinate rispetto ad un'altra base.
Adesso è chiaro?
ok chiaro compreso tutto.allora basta scriversi
$w=x(i+1,1-i,1+i)+y(1,1,2)+z(c_1v_1+c_2v_2)$
bisogna allora calcolarsi $c_1$ e $c_2$
scrivendo $v_3=c_1v_1+c_2v_2$
dopo calcolati questi valori per calcolarmi $w$ come faccio?
$w=x(i+1,1-i,1+i)+y(1,1,2)+z(c_1v_1+c_2v_2)$
bisogna allora calcolarsi $c_1$ e $c_2$
scrivendo $v_3=c_1v_1+c_2v_2$
dopo calcolati questi valori per calcolarmi $w$ come faccio?
Secondo me non è necessario questo lavoro: se fai semplicemente \(f(\mathbf{v}_1)\) ed \(f(\mathbf{v}_2)\) ottieni i trasformati degli elementi di una base. Non ti bastano questi?
be certo appunto io cerco le immagini di $v_1$ e $v_2$.ma $f(v_1)$ a cosa è uguale?
Hai la definizione di \(f\), direi che puoi arrivare anche da solo ad \(f(\mathbf{v}_1)\)!
"Raptorista":
Hai la definizione di \(f\), direi che puoi arrivare anche da solo ad \(f(\mathbf{v}_1)\)!
purtroppo non mi è chiaro il discorso.le legge è data nel caso che l'immagine sia $xv_1+yv_2+zv_3$ io ho $v_1$.come posso fare?mi potresti illuminare?
Rileggi quello che ti ho scritto prima..
be stando allora a quello che dice te otterei
$f(v_1)=((1,2k),(1,-1))$
$f(v_2)=((1,1),(2,2))$
cioè sostituisco le componenti che sono rispettivamente nel primo caso
$x=1,y=z=0$
mentre nel secondo caso $x=z=0,y=1$
esatto adesso?
$f(v_1)=((1,2k),(1,-1))$
$f(v_2)=((1,1),(2,2))$
cioè sostituisco le componenti che sono rispettivamente nel primo caso
$x=1,y=z=0$
mentre nel secondo caso $x=z=0,y=1$
esatto adesso?
Sì, questo passaggio mi sembra corretto ora.
effettivamente è giusto così.riflettendoci bene deve essere per forza così.le $x,y,z$ sono le componenti.però interessante come esercizio.non mi ero mai imbattuto in un esercizio del genere.ti ringrazio tanto raptorista per avermi seguito ed aiutato. 
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