Calcolare nucleo e immagine di un applicazione lineare
CALCOLO DEL NUCLEO E L'IMMAGINE DI F
$ f: R^3 -> R^3$ l'app. lineare : f((x1,x2,x3))=(2x1-x3,x1+x2-x3,x1-x2)
a)Determinare il nucleo e l'immagine di f.
Per il calcolo del nucleo ho risolto il seguente sistema omogeno(Ax=0):
{: ( 2 , 0 , -3 ),( 1 , 1 , -3 ),( 1 , -2 , 0 ) :} Tramite l'eliminazione di gauss, sono arrivato a questo:
{: ( 2x1 , -3x3 ),( 2x2 , -3x3 ),( -9x3 ) :}
Come continuo per calcolare il nucleo?
E per calcolare l'immagine?
Grazie anticipatamente
$ f: R^3 -> R^3$ l'app. lineare : f((x1,x2,x3))=(2x1-x3,x1+x2-x3,x1-x2)
a)Determinare il nucleo e l'immagine di f.
Per il calcolo del nucleo ho risolto il seguente sistema omogeno(Ax=0):
{: ( 2 , 0 , -3 ),( 1 , 1 , -3 ),( 1 , -2 , 0 ) :} Tramite l'eliminazione di gauss, sono arrivato a questo:
{: ( 2x1 , -3x3 ),( 2x2 , -3x3 ),( -9x3 ) :}
Come continuo per calcolare il nucleo?
E per calcolare l'immagine?
Grazie anticipatamente
Risposte
Ciao.
Scusa, è tardi quindi potrei scrivere tranquillamente delle cavolate...
Che sisema è quello? Secondo me la matrice dovrebbe essere questa:
[tex]\begin{bmatrix}2&0&-1\\1&1&-1\\1&-1&0\end{bmatrix}[/tex]
(penso tu abbia confuso gli indici con i coefficienti)
Per quanto riguarda la domanda, devi solo applicare le definizioni: cos'è il nucleo? Quando quel sistema ha soluzione?
Ultima cosa: cerca di scrivere con le formule, risulta tutto più leggibile!
Scusa, è tardi quindi potrei scrivere tranquillamente delle cavolate...
Che sisema è quello? Secondo me la matrice dovrebbe essere questa:
[tex]\begin{bmatrix}2&0&-1\\1&1&-1\\1&-1&0\end{bmatrix}[/tex]
(penso tu abbia confuso gli indici con i coefficienti)
Per quanto riguarda la domanda, devi solo applicare le definizioni: cos'è il nucleo? Quando quel sistema ha soluzione?
Ultima cosa: cerca di scrivere con le formule, risulta tutto più leggibile!
La matrice è quella che ha scritto Titania.
Riguardo al calcolo di [tex]Im(f)[/tex], ricordo a gaten che [tex]Im(f)[/tex] è generato dai vettori individuati dalle colonne della matrice.
Paola
Riguardo al calcolo di [tex]Im(f)[/tex], ricordo a gaten che [tex]Im(f)[/tex] è generato dai vettori individuati dalle colonne della matrice.
Paola
PS:
L'applicazione data è la segunte:
$ f: RR^3->RR^3 : f((x1,x2,x3))=(2x1-x3,x1+x2-x3,x1-x2) $
Si in effetti mi sono confuso.
La matrice associata è: $ {: ( 2 , 0 , -1 ),( 1 , 1 , -1 ),( 1 , -1 , 0 ) :} $
e per determinare il nucleo di f, ho risolto il sistema mediante eliminazione di gauss. La matrice finale mi risulta essere:
$ {: ( 2 , 0 , -1 ),( 0 , 2 , -1 ),( 0 , 0 , 0 ) :} $
Dopodichè, una base dell'immagine di f è data dai vettori su cui compaiono i pivot, cioè:
$ ( ( 2 , 1 , 1 ) ) e ( ( 0 , 1 , -1 ) ) $
è giusto fin qui?
Adesso, come determino il ker(f) arrivato a questo punto?
Inoltre il punto b dell'esercizio, mi chiedeva di verificare se il vettore $ ( ( 1 , 0 , 1 ) ) $ appartiene all' Im(f) e nel caso di risposta affermativa, mi chiedeva di determinare un vettore $ ( ( x1, x2, x3) ) : f((x1, x2, x3)) = ((1,0,1)) $
Qualcuno può spiegarmi come risolvere l'esercizio.
Grazie!
L'applicazione data è la segunte:
$ f: RR^3->RR^3 : f((x1,x2,x3))=(2x1-x3,x1+x2-x3,x1-x2) $
Si in effetti mi sono confuso.
La matrice associata è: $ {: ( 2 , 0 , -1 ),( 1 , 1 , -1 ),( 1 , -1 , 0 ) :} $
e per determinare il nucleo di f, ho risolto il sistema mediante eliminazione di gauss. La matrice finale mi risulta essere:
$ {: ( 2 , 0 , -1 ),( 0 , 2 , -1 ),( 0 , 0 , 0 ) :} $
Dopodichè, una base dell'immagine di f è data dai vettori su cui compaiono i pivot, cioè:
$ ( ( 2 , 1 , 1 ) ) e ( ( 0 , 1 , -1 ) ) $
è giusto fin qui?
Adesso, come determino il ker(f) arrivato a questo punto?
Inoltre il punto b dell'esercizio, mi chiedeva di verificare se il vettore $ ( ( 1 , 0 , 1 ) ) $ appartiene all' Im(f) e nel caso di risposta affermativa, mi chiedeva di determinare un vettore $ ( ( x1, x2, x3) ) : f((x1, x2, x3)) = ((1,0,1)) $
Qualcuno può spiegarmi come risolvere l'esercizio.
Grazie!
Per determinare il Ker basta risolvere il sistema, che sarà indeterminato:
$\{(2x_1 -x_3=0),(2x_2-x_3=0):}\to\{(x_1=t/2),(x_2=t/2),(x_3=t):}$ dove $t$ è il parametro. Dunque la soluzione è $(t/2,t/2,t)$ quindi il Ker è generato dal vettore $(1,1,2)$ ( ho moltiplicato per $2$ per comodità, tanto anche un suo multiplo va bene). Questo è in linea con le aspettative, perché la dimensione dell'Im hai visto che è $2$ e per il Ker ci aspettavamo che fosse $1=3-2$.
Per vedere se $(1,0,1)\in Im(f)$ basta vedere se il sistema
$a((2),(1),(1))+b((0),(1),(-1))=((1),(0),(1))$ è determinato.
Paola
$\{(2x_1 -x_3=0),(2x_2-x_3=0):}\to\{(x_1=t/2),(x_2=t/2),(x_3=t):}$ dove $t$ è il parametro. Dunque la soluzione è $(t/2,t/2,t)$ quindi il Ker è generato dal vettore $(1,1,2)$ ( ho moltiplicato per $2$ per comodità, tanto anche un suo multiplo va bene). Questo è in linea con le aspettative, perché la dimensione dell'Im hai visto che è $2$ e per il Ker ci aspettavamo che fosse $1=3-2$.
Per vedere se $(1,0,1)\in Im(f)$ basta vedere se il sistema
$a((2),(1),(1))+b((0),(1),(-1))=((1),(0),(1))$ è determinato.
Paola
Grazie per la risposta, però volevo avere un chiarimento:
1) Per vedere se il vettore (1,0,1) appartiene a Im(f) dobbiamo vedere se il sistema è DETERMINATO? Perchè dev'essere determinato il sistema?
2) Prima ti avevo scritto alcune cose, riguardo alla determinazione del ker di f e alla base di Im(f) è corretto quello che ho scritto?
Risolvendo:
$ a((2,1,1))+b((0,1,-1)) $ ottengo il seguente sistema:
$ ( ( 2a = 1 ),( a + b = 0 ),( a - b = 1 ) ) $ cioè:
$ ( ( a = 1/2 ),( b = -1/2 ),( 1/2+1/2 = 1 ) ) $
Che conclusione traggo?
1) Per vedere se il vettore (1,0,1) appartiene a Im(f) dobbiamo vedere se il sistema è DETERMINATO? Perchè dev'essere determinato il sistema?
2) Prima ti avevo scritto alcune cose, riguardo alla determinazione del ker di f e alla base di Im(f) è corretto quello che ho scritto?
Risolvendo:
$ a((2,1,1))+b((0,1,-1)) $ ottengo il seguente sistema:
$ ( ( 2a = 1 ),( a + b = 0 ),( a - b = 1 ) ) $ cioè:
$ ( ( a = 1/2 ),( b = -1/2 ),( 1/2+1/2 = 1 ) ) $
Che conclusione traggo?
up
Trai la conclusione che esiste una combinazione lineare dei vettori $(2,1,1),(0,1,-1)$ (data dagli scalari $a,b$ trovati) in cui si esprime il vettore $(1,0,1)$, dunque quest'ultimo appartiene a $Im(f)$, che è generata appunto da $(2,1,1),(0,1,-1)$.
I tuoi passaggi andavano bene.
Paola
I tuoi passaggi andavano bene.
Paola
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