Calcolare matrice conoscendo il polinomio caratteristico
Non riesco a completare questo quesito:
Si determini una matrice D tale che $p_D(gamma)=gamma^4 -10gamma^3 +35gamma^2 -50gamma +24$
ho scomposto il polinomio caratteristico e trovato così le sue radici che corrispondono agli autovalori della matrice D:
$gamma^4 -10gamma^3 +35gamma^2 -50gamma +24$ equivale a $(1-gamma)(2-gamma)(4-gamma)(3-gamma)$
quindi gli autovalori sono $gamma=1, gamma=2, gamma=4, gamma=3$
Sò che il coefficiente del termine di secondo grado del polinomio caratteristico è uguale alla traccia della matrice e che il termine noto è uguale al determinante della matrice. Come trovo la matrice?
Si determini una matrice D tale che $p_D(gamma)=gamma^4 -10gamma^3 +35gamma^2 -50gamma +24$
ho scomposto il polinomio caratteristico e trovato così le sue radici che corrispondono agli autovalori della matrice D:
$gamma^4 -10gamma^3 +35gamma^2 -50gamma +24$ equivale a $(1-gamma)(2-gamma)(4-gamma)(3-gamma)$
quindi gli autovalori sono $gamma=1, gamma=2, gamma=4, gamma=3$
Sò che il coefficiente del termine di secondo grado del polinomio caratteristico è uguale alla traccia della matrice e che il termine noto è uguale al determinante della matrice. Come trovo la matrice?
Risposte
La traccia è $10$. Se hai tutti autovalori distinti, una matrice è la matrice diagonale con gli autovalori sulla diagonale principale.
giusto, ho sbagliato, in questo caso la traccia è il coefficiente del termine di terzo grado cambiato di segno. La diagonalità della matrice è condizione necessaria? Non è sufficiente che la matrice sia triangolare in quanto comunque il determinante è il prodotto degli elementi della diagonale?
Non vorrei sbagliarmi ma probabilmente scrivere una matrice triangolare risolve anche il caso in cui gli autovalori non siano tutti distinti. Meglio se aspetti un'ulteriore conferma.
cioè le matrice sono due:
$ D=| ( 1 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 2 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 4 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 3 ) | $ che è la matrice diagonale
$ D=| ( 1 , a_12 , a_13 , a_14 ),( 0 , 2 , a_23 , a_24 ),( 0 , 0 , 4 , a_34 ),( 0 , 0 , 0 , 3 ) | $ che è la matrice triangolare
per entrambe vale $det(D-gammaI_4)=(1-γ)(2-γ)(4-γ)(3-γ)$
dovrebbero andare bene entrambe come risposta al quesito
$ D=| ( 1 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 2 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 4 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 3 ) | $ che è la matrice diagonale
$ D=| ( 1 , a_12 , a_13 , a_14 ),( 0 , 2 , a_23 , a_24 ),( 0 , 0 , 4 , a_34 ),( 0 , 0 , 0 , 3 ) | $ che è la matrice triangolare
per entrambe vale $det(D-gammaI_4)=(1-γ)(2-γ)(4-γ)(3-γ)$
dovrebbero andare bene entrambe come risposta al quesito
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