Calcolare la dimensione e una base per KerL e ImL

[Mgloria]

Buonasera, ho un dubbio sul nuclei e l'immagine di un applicazione lineare.
Ho la matrice
$ [ ( 1,1 , 1 ),(1 , 1,1 ),( 1,1,1 ) ] $
e mi chiede di calcolare la dimensione e una base per KerL e ImL.
La prima cosa da fare è calcolare il rango, il quale risulta 1, quindi dim(ImL)=1
Quindi, essendo
dim(KerL)=dim(V)-dim(ImL)
abbiamo che
dim(kerL)=3-1=2
Ma da qui non so come cercare una base...
E la mia domanda è, se volessi cercare solo Nucleo e Immagine, come devo fare?
Poi mi richiedono anche di scrivere un vettore v appartenente a R3 tale che il prodotto scalare tra v e L(v) sia un numero positivo.
Grazie

[Magma1]

Per quanto riguarda il nucleo, considera la definizione; data $f: V->W$

$ker(f):={v in V : qquad f(v)=bar0}={v in V: qquad Av=bar0}$

Inoltre dovresti ricordare che l'immagine di $f$ è generata dalle immagini delle colonne di $A$:

$Im(f)=mathcalL(f(C_1), f(C_2), f(C_3))$

quindi, per ricavare una base, cosa fai?

[Mgloria]

Quindi se poniamo l'applicazione lineare associata alla matrice uguale a zero, ci risulta solo un'equazione dato che sono tutte uguali, e quindi :
x+y+z=0
quindi 1 equazione 3 incognite...
Per l'immagine non ho ben capito, dovrei studiare l'indipendenza lineare? Il che è impossibile dato che non sono linearmente indipendenti.
Per ricavare una base non so...essendo tutti i coefficienti uguali non mi è molto chiaro come mi devo muovere.

[Magma1]

"Mgloria":Quindi se poniamo l'applicazione lineare associata alla matrice uguale a zero, ci risulta solo un'equazione dato che sono tutte uguali, e quindi :

$x+y+z=0$

quindi 1 equazione 3 incognite...

Quindi una base è...?

"Mgloria":
Per l'immagine non ho ben capito,

Se hai un insieme di generatori linearmente dipendenti, per trovare una base è sufficiente elimanare i vettori che sono c. l. dei rimaneti; ti risulta?

[Mgloria]

Quindi se x=0, una base può essere (0,-1,-1) ?

[Magma1]

"Mgloria":Quindi se x=0, una base può essere (0,-1,-1) ?

quanto fa

$((1,1,1),(0,0,0),(0,0,0))((0),(-1),(-1))$?

In ogni caso $-1-1ne0$, quindi quel prodotto riga per colonna non restituirà un vettore nullo.

Inoltre, il sistema lineare omogeneo

$mathcalS : qquad ((1,1,1),(0,0,0),(0,0,0))((x),(y),(z))=((0),(0),(0)) $

ha $oo^2$ soluzioni (perché? ):

$x+y+z=0 hArr { ( x=-y-z),( y in RR ),(z in RR ):} $

i.e. un vettore soluzione per $mathcalS$ è

$((-y-z),(y),(z))=y((-1),(1),(0))+z((-1),(0),(1))$

pertanto una base del ker è:

${((-1),(1),(0)),((-1),(0),(1))}$