Calcolare la dimensione di un sottospazio
ciao ragazzi! Qualcuno mi sa risolvere questo esercizio perfavore? Grazie
Risposte
@stena,
un tuo tentativo in primis, hai per ipotesi il seguente sottospazio di \( \Bbb{R}^5 \) $$S=\{(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) \in \Bbb{R}^5|x_1=x_3 \wedge x_4=x_1-x_3\}$$ giusto? Saluti
"stena":
ciao ragazzi! Qualcuno mi sa risolvere questo esercizio perfavore? Grazie
un tuo tentativo in primis, hai per ipotesi il seguente sottospazio di \( \Bbb{R}^5 \) $$S=\{(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) \in \Bbb{R}^5|x_1=x_3 \wedge x_4=x_1-x_3\}$$ giusto? Saluti
Si giusto, non riesco neanche a partire con la risoluzione perché mi trovo in difficoltà per il fatto che non ci sia un riferimento di x2
Se non ci sono riferimenti allora vuol dire che è indifferente il valore che assume \(x_2\). Devi pensarla come se partissi da tutti i possibili valori e ogni nuovo vincolo tu restringa i possibili valori a quelli che rispettano quel vincolo.
@stena,
ok, come ha detto vict85, \(x_2\) può assumere qualsiasi valore.. ma non solo, avendo $$S=\{(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) \in \Bbb{R}^5|x_1=x_3 \wedge x_4=x_1-x_3\}$$ è facile vedere per sostituzione che preso un generico $(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) \in S$ esso sarà del tipo $$(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) =(x_1,x_2,x_1,0,x_5) \in \Bbb{R}^5$$ tu sai già per ipotesi che $S$ è sottospazio vettoriale allora ammette dimensione, che può essere \(0\leq \dim_{\Bbb{R}}(S)\leq 5\) ergo esiste un sistema di generatori (di \(S \)) liberi del tipo \( \{v_1,..,v_{i=dim_{\Bbb{R}}(S)}\} \subseteq \Bbb{R}^5\) dobbiamo determinare quell'indice \( i \), cioè sapere quanti sono i vettori generatori (di \( S \)) liberi... sai continuare? (suggerimento: prova a studiare la dimensione, ovvero considerala uguale a \( 5 \) e vedi cosa esce fuori, se non va bene considerala uguale a 4 .. e così via)..
Saluti
"stena":
Si giusto, non riesco neanche a partire con la risoluzione perché mi trovo in difficoltà per il fatto che non ci sia un riferimento di x2
ok, come ha detto vict85, \(x_2\) può assumere qualsiasi valore.. ma non solo, avendo $$S=\{(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) \in \Bbb{R}^5|x_1=x_3 \wedge x_4=x_1-x_3\}$$ è facile vedere per sostituzione che preso un generico $(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) \in S$ esso sarà del tipo $$(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) =(x_1,x_2,x_1,0,x_5) \in \Bbb{R}^5$$ tu sai già per ipotesi che $S$ è sottospazio vettoriale allora ammette dimensione, che può essere \(0\leq \dim_{\Bbb{R}}(S)\leq 5\) ergo esiste un sistema di generatori (di \(S \)) liberi del tipo \( \{v_1,..,v_{i=dim_{\Bbb{R}}(S)}\} \subseteq \Bbb{R}^5\) dobbiamo determinare quell'indice \( i \), cioè sapere quanti sono i vettori generatori (di \( S \)) liberi... sai continuare? (suggerimento: prova a studiare la dimensione, ovvero considerala uguale a \( 5 \) e vedi cosa esce fuori, se non va bene considerala uguale a 4 .. e così via)..
Saluti
grazie mille per la spiegazione molto chiara
@stena,
figurati, prego!
Saluti
"stena":
grazie mille per la spiegazione molto chiara
figurati, prego!
Saluti
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