Calcolare la dimensione dell'immagine di f

[beck_s]

Sia f : C4 -> C4 una trasformazione lineare e si supponga che la matrice associata a f rispetto alla base ordinata B = {e1; e2; e3 + e4; e3 + e1} su dominio e codominio (ei sono i vettori della base canonica di C4) sia $A=([2,2,0,0], [2,2,0,0], [0,0,1,1], [0,0,1,1])$
(a) Si determini la matrice B associata a f rispetto alle basi canoniche.
(b) Si calcoli la dimensione dell’immagine di f.
(c) Si dica se la matrice B è diagonalizzabile.
(d) Si calcoli una base dello spazio nullo dell’applicazione lineare f.

Ho calcolato il punto a ed il punto b ma non riesco a calcolare il punto c.

La funzione è f(v1)=f(v2)=2v1+2v2 f(v3)=f(v4)=v3 come faccio a calcolare la dimensione della sua immagine? Pensavo di applicare il teorema della nullità più rango, ma non saprei da dove iniziare cioè f : V->W dimV=dimN(f)+dimIm(f) e quindi dimIm(f)=dimV-dimN(f). Ma cos'è la dimensione di V? 3 (f si basa su tre vettori)?
potete aiutarmi?
ciao e grazie

[cirasa]

Nella formula
[tex]\dim N(f)+\dim\textrm{Im}f=\dim V[/tex]
(molto spesso [tex]N(f)[/tex] è denotato con [tex]\ker f[/tex])
[tex]\dim V[/tex] è la dimensione dello spazio di partenza [tex]V[/tex]. Nel tuo esercizio lo spazio di partenza è [tex]\mathbb{C}^4[/tex].

Attenzione quando scrivi

"beck_s":
La funzione è f(v1)=f(v2)=2v1+2v2 f(v3)=f(v4)=v3

A parte il fatto che non hai detto chi sono $v_1,v_2,v_3,v_4$, supponendo che tu abbia posto
$v_1=e_1$,
$v_2=e_2$,
$v_3=e_3+e_4$,
$v_4=e_3+e_1$,
in realtà è $f(v_1)=f(v_2)=2v_1+2v_2$ e $f(v_3)=f(v_4)=v_3+v_4$.

Un'ultima cosa: usa le formule!