Calcolare la controimmagine

[mazzy89-votailprof]

devo risolvere questo esercizio ma non capisco una cosa:

sia $V$ uno spazio vettoriale reale di dimensione $3$, sia $A={v_1,v_2,v_3}$ una base di $V$, sia $f_h:V->V$ definita da:

$f_h(v_1)=v_1+2v_2+(h+1)v_3$
$f_h(v_2)=-v_1-2v_2-v_3$
$f_h(v_3)=2v_1+2v_2+(2-h)v_3$

con $h in RR$ parametro reale

l'esercizio chiede di calcolare

$f^(-1)_h(v_1+v_2-v_3)={v in V : f_h(v)=v_1+v_2-v_3}$

la mia difficoltà sta nel calcolarmi $v_1,v_2,v_3$.non riesco a trovarli.

[Paolo902]

Ciao!

Ma secondo me non devi mica trovare $v_1, v_2,v_3$! Semplicemente sono i vettori di una base di $V$. L'esercizio ti chiede di trovare il sottospazio contro-immagine di $v_1+v_2-v_3$, le cui componenti - rispetto alla base considerata - sono $(1,1,-1)$.

Hai capito?

[mazzy89-votailprof]

"Paolo90":Ciao!

Ma secondo me non devi mica trovare $v_1, v_2,v_3$! Semplicemente sono i vettori di una base di $V$. L'esercizio ti chiede di trovare il sottospazio contro-immagine di $v_1+v_2-v_3$, le cui componenti - rispetto alla base considerata - sono $(1,1,-1)$.

Hai capito?

quindi devo risolvere il seguente sistema

${(a-b+2c=1),(2a-2b+2c=1),((h+1)a-b+(2+h)c=-1):}$

giusto?

[Paolo902]

Quasi giusto... devi risolvere il seguente sistema

${(a-b+2c=lambda),(2a-2b+2c=lambda),((h+1)a-b+(2+h)c=-lambda):}$

al variare di $h,lambda in RR$.

Infatti, nel sottospazio $\mathcal{L}((1,1,-1))$ ci stanno tutti i vettori "multipli" di $(1,1,-1)$: chiaro?

[mazzy89-votailprof]

"Paolo90":Quasi giusto... devi risolvere il seguente sistema

${(a-b+2c=lambda),(2a-2b+2c=lambda),((h+1)a-b+(2+h)c=-lambda):}$

al variare di $h,lambda in RR$.

Infatti, nel sottospazio $\mathcal{L}((1,1,-1))$ ci stanno tutti i vettori "multipli" di $(1,1,-1)$: chiaro?

già già giusto