Calcolare il volume...
Ciao a tutti, mi spiegate questo esercizio? Non dico risolverlo, ma spiegarlo...
non riesco a visualizzare proprio la forma della figura di cui vado a calcolare il volume...
esercizio: Calcolare il volume dell'insieme limitato dal piano x,y dal paraboloide: $z=x^2/4+y^2/100$ e dal cilindro $z^2/9+y^2=1$
non ne esco
non riesco a visualizzare proprio la forma della figura di cui vado a calcolare il volume...
esercizio: Calcolare il volume dell'insieme limitato dal piano x,y dal paraboloide: $z=x^2/4+y^2/100$ e dal cilindro $z^2/9+y^2=1$
non ne esco
Risposte
il primo è un paraboloide ellittico, devi immaginartelo formato da una "parabola che ruota attorno all'asse y"
Generalmente la sua equazione è questa:
$z=((x-x_0)^2)/(a^2)+((y-y_0)^2/(b^2)$
e se lo tagli in $z=1$ $a$ rappresenta la distanza dell'intersezione riferita all'asse x; $b$ invece riferita all'asse $y$.
Il secondo inece è un cilindro parallelo all'asse $x$. Ovvero l'ellisse di base è sul piano yz
Generalmente la sua equazione è questa:
$z=((x-x_0)^2)/(a^2)+((y-y_0)^2/(b^2)$
e se lo tagli in $z=1$ $a$ rappresenta la distanza dell'intersezione riferita all'asse x; $b$ invece riferita all'asse $y$.
Il secondo inece è un cilindro parallelo all'asse $x$. Ovvero l'ellisse di base è sul piano yz
Scusate se mi intrometto, mi interessava questo volume, è diverso dal tipico integrale doppio su un certo dominio..Si usa il metodo di integrazione per strati (affettasalami) ? Solo che non ho mai compreso bene come si utilizzasse. Io ho un problema che penso sia simile ovvero calcolare il volume della superficie
$x^(2)/4+y^(2)/9-z^(2)=1$ fra $z=-2$ e $z=4$
Ma non voglio rubare la domanda a zannas solo che mi sembravano casi simili e quindi magari si potevano trattare insieme.
$x^(2)/4+y^(2)/9-z^(2)=1$ fra $z=-2$ e $z=4$
Ma non voglio rubare la domanda a zannas solo che mi sembravano casi simili e quindi magari si potevano trattare insieme.
ehm..ehm..scusate se persisto però nessuno ha un consiglio sulla domanda che ho posto? Magari potete consigliarmi un buon testo che tratti questo tipo di integrali multipli con qualche esempio...^^
"zannas":grazie per la dritta....ma non sono riuscito a farlo lo stex..
Ciao a tutti, mi spiegate questo esercizio? Non dico risolverlo, ma spiegarlo...
non riesco a visualizzare proprio la forma della figura di cui vado a calcolare il volume...
esercizio: Calcolare il volume dell'insieme limitato dal piano x,y dal paraboloide: $z=x^2/4+y^2/100$ e dal cilindro $z^2/9+y^2=1$
non ne esco
"zannas":grazie per la dritta....ma non sono riuscito a farlo lo stex..
[quote="zannas"]Ciao a tutti, mi spiegate questo esercizio? Non dico risolverlo, ma spiegarlo...
non riesco a visualizzare proprio la forma della figura di cui vado a calcolare il volume...
esercizio: Calcolare il volume dell'insieme limitato dal piano x,y dal paraboloide: $z=x^2/4+y^2/100$ e dal cilindro $z^2/9+y^2=1$
non ne esco
[/quote]Scusa, forse non hai copiato bene l'esercizio. Il primo, ok è l'equazione cartesiana di un paraboloide ellittico, il secondo non è un cilindro, come l'hai scritta tu è un ellisse centrato nell'origine sul piano zy...
infatti...comunque predi buono che sia un'ellisse
wow, nessuno riesce a farlo e dovrei farlo io all'esame...
altro esercizio che non riesco bene a fare sempre sul calcolo di integrali
Calcolare $int_E y/x dx dy$ dove $E={(x
altro esercizio che non riesco bene a fare sempre sul calcolo di integrali
Calcolare $int_E y/x dx dy$ dove $E={(x
Salve a tutti volevo scusate ma volevo rispondere a "in_me_i_trust".
Potresti riscirvere l'eqauzione come:
$x^2/4 + y^2/9 =1+z^2$
Ora questa equazione può essere riscritta con un semplice cambio di variabile:
$x/2=\alpha => dx=2 d \alpha$ e $y/3=\beta => dy=3 d \beta $ dal qualle si ottiene:
($\alpha)^2 + (\beta)^2 =1+z^2$ che non è altro che una circonferenza di raggio $\sqrt(1+z^2)$ con $z$ che varia nell'intervallo desiderato. Per i calcolo del volume si possono utilizzare le coordinate polari, stando attenti alle trasformazioni eseguite in precedenza.
Potresti riscirvere l'eqauzione come:
$x^2/4 + y^2/9 =1+z^2$
Ora questa equazione può essere riscritta con un semplice cambio di variabile:
$x/2=\alpha => dx=2 d \alpha$ e $y/3=\beta => dy=3 d \beta $ dal qualle si ottiene:
($\alpha)^2 + (\beta)^2 =1+z^2$ che non è altro che una circonferenza di raggio $\sqrt(1+z^2)$ con $z$ che varia nell'intervallo desiderato. Per i calcolo del volume si possono utilizzare le coordinate polari, stando attenti alle trasformazioni eseguite in precedenza.
Non riesco a capire se il testo fornito da "zannas" sia corretto. In effetti non ha senso il calcolo del volume dell'intersezione delle due equazioni fornite.
il testo è quello, probabilmente dall'ellisse porti su un'ellissoide (si chiama così?) che va a intersecarsi con il paraboloide. Prova a farti un disegno 3D
Ps: e il 2o es?
Ps: e il 2o es?
Dunque il secondo può essere svolto nel segunte modo:
$int_(1/ \sqrt(2))^(1) int_(1/x)^(2x) y/x dy dx + int_1^(\sqrt(2)) int_x^(2/x) y/x dy dx$
basta solamente scomporre il dominio di integrazione in 2 intervalli.
$int_(1/ \sqrt(2))^(1) int_(1/x)^(2x) y/x dy dx + int_1^(\sqrt(2)) int_x^(2/x) y/x dy dx$
basta solamente scomporre il dominio di integrazione in 2 intervalli.
"clrscr":
Dunque il secondo può essere svolto nel segunte modo:
$int_(1/ \sqrt(2))^(1) int_(1/x)^(2x) y/x dy dx + int_1^(\sqrt(2)) int_x^(2/x) y/x dy dx$
basta solamente scomporre il dominio di integrazione in 2 intervalli.
come l'hai fatto questo? Non riesco bene a capire quando negli estremi devo mettere funzioni o numeri
[asvg]axes();
plot("x");
plot("2x");
plot("1/x");
plot("2/x");[/asvg]
innanzitutto devi considerare solamente il dominio nel primo quadrante. Trovi le ascisse d' intersezione dei grafici...vedrai che si puo dividere l'integrale nei due intervalli:
$[1/\sqrt(2), 1] U [1,\sqrt(2)]$.In tali intervalli le funzioni variano rispettivamente tra $1/x$ e $2x$ nel primo intervallo, mentre tra $x$ e $2/x$ nell'altro.
$[1/\sqrt(2), 1] U [1,\sqrt(2)]$.In tali intervalli le funzioni variano rispettivamente tra $1/x$ e $2x$ nel primo intervallo, mentre tra $x$ e $2/x$ nell'altro.
Sei sicuro che sia scritto in modo corretto? (x al posto di y... )
non si riesce secondo me a capire quale é la parte generata da tenere in considerazione....
é un paraboloide (come una parabola che ruota attorno all'asse Z) e un ellissi visto sul piano y,z con punti +e-(0,3),+e- (1,0)...
io non ci riesco...
troppo un casino!
non si riesce secondo me a capire quale é la parte generata da tenere in considerazione....
é un paraboloide (come una parabola che ruota attorno all'asse Z) e un ellissi visto sul piano y,z con punti +e-(0,3),+e- (1,0)...
io non ci riesco...
troppo un casino!
Provo a dare un contributo (anche se non amo gli integrali...)
Intanto devo dire che la formulazione della traccia è leggermente ambigua - leggendola infatti la prima cosa che capisco
è che si chiede il volume della zona tra il piano $xy$ e il parabololide (cioè $P^{-} :={(x,y,z) : 0\leq z\leq x^2/4+y^2/100}$)
intersecata con il cilindro $C:={(x,y,z : z^2/9+y^2\leq1)}$. Se questo fosse il problema allora il volume è infinito perché per
esempio tutto il pezzo ${(x,y,z : z^2/9+y^2\leq1, x\geq 2,z\geq 0)}$ sta in questa interzezione.
Se invece, come mi sembra più probabile, si chiede di intersecare il cilindro $C$ col parabolide pieno $P^{+} :={(x,y,z) : z\geq x^2/4+y^2/100}$
(estrudendo lateralmente una sezione cilindrica da $P^+$), allora l'insieme di cui si vuole il volume è
$A:={(x,y,z) : z\geq x^2/4+y^2/100,z^2/9+y^2\leq1}$
Se intersechiamo $A$ col piano ${x=0}$ troviamo l'insieme (nel piano $yz$)
$D:={(yz) : z\geq y^2/100,z^2/9+y^2\leq1}$.
E' facile vedere allora che $A={(x,y,z) : (y,z)\in D, -\sqrt{4z-y^2/25}\leq x\leq \sqrt{4z-y^2/25}}$ da cui
$\int\int\int_Adx dy dz =2\int\int_D \sqrt{4z-y^2/25}dy dz$
L'insieme $D$ è l'intersezione dell'ellisse $[(yz) : z^2/9+y^2\leq1}$ con la parabola piena ${(yz) : z\geq y^2/100}$, tale insieme si descrive come
$D={(y,z) : -\bar y\leq y \leq \bar y, y^2/100\leq z \leq 3\sqrt{1-y^2}}$
dove $\pm\bar y$ sono le ascisse delle due intersezioni tra l'ellisse e la parabole - $\bar y$ si può calcolare risolvendo un'equazione biquadratica, viene
un numero assai brutto da scrivere (molto vicino a uno) e quindi non lo riporto. Alla fine si arriva a
$2\int\int_D \sqrt{4z-y^2/25}dy dz=2\int_{-\bar y}^{bar y}(\int_{y^2/100}^{\sqrt{4z-y^2/25}} \sqrt{4z-y^2/25} dz )dy=4\int_{0}^{bar y}(\int_{y^2/100}^{\sqrt{4z-y^2/25}} \sqrt{4z-y^2/25} dz )dy$
che lascio volentieri a voi
Intanto devo dire che la formulazione della traccia è leggermente ambigua - leggendola infatti la prima cosa che capisco
è che si chiede il volume della zona tra il piano $xy$ e il parabololide (cioè $P^{-} :={(x,y,z) : 0\leq z\leq x^2/4+y^2/100}$)
intersecata con il cilindro $C:={(x,y,z : z^2/9+y^2\leq1)}$. Se questo fosse il problema allora il volume è infinito perché per
esempio tutto il pezzo ${(x,y,z : z^2/9+y^2\leq1, x\geq 2,z\geq 0)}$ sta in questa interzezione.
Se invece, come mi sembra più probabile, si chiede di intersecare il cilindro $C$ col parabolide pieno $P^{+} :={(x,y,z) : z\geq x^2/4+y^2/100}$
(estrudendo lateralmente una sezione cilindrica da $P^+$), allora l'insieme di cui si vuole il volume è
$A:={(x,y,z) : z\geq x^2/4+y^2/100,z^2/9+y^2\leq1}$
Se intersechiamo $A$ col piano ${x=0}$ troviamo l'insieme (nel piano $yz$)
$D:={(yz) : z\geq y^2/100,z^2/9+y^2\leq1}$.
E' facile vedere allora che $A={(x,y,z) : (y,z)\in D, -\sqrt{4z-y^2/25}\leq x\leq \sqrt{4z-y^2/25}}$ da cui
$\int\int\int_Adx dy dz =2\int\int_D \sqrt{4z-y^2/25}dy dz$
L'insieme $D$ è l'intersezione dell'ellisse $[(yz) : z^2/9+y^2\leq1}$ con la parabola piena ${(yz) : z\geq y^2/100}$, tale insieme si descrive come
$D={(y,z) : -\bar y\leq y \leq \bar y, y^2/100\leq z \leq 3\sqrt{1-y^2}}$
dove $\pm\bar y$ sono le ascisse delle due intersezioni tra l'ellisse e la parabole - $\bar y$ si può calcolare risolvendo un'equazione biquadratica, viene
un numero assai brutto da scrivere (molto vicino a uno) e quindi non lo riporto. Alla fine si arriva a
$2\int\int_D \sqrt{4z-y^2/25}dy dz=2\int_{-\bar y}^{bar y}(\int_{y^2/100}^{\sqrt{4z-y^2/25}} \sqrt{4z-y^2/25} dz )dy=4\int_{0}^{bar y}(\int_{y^2/100}^{\sqrt{4z-y^2/25}} \sqrt{4z-y^2/25} dz )dy$
che lascio volentieri a voi
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