Calcolare gruppo fondamentale
Ciao a tutti!
Ho questo esercizio e non so bene da dove iniziare..
Sia $X=S^2 \bigcup \{(x,0,0):-1\leq x\leq 1\}$
(i) Calcolare il suo gruppo fondamentale e dipintare sopra i generatrici di questo gruppo.
(ii) È omeomorfo a $S^1$? e a $S^2$?
(III) ha lo stesso tipo di omotopia da $S^1$? e da $S^2$?
Per calcolare il gruppo fondamentale, dovrei usare il teorema di Seifert-Van Kampen?
Per (iii), io credo che non è omotopo a $S^1$ ma si a $S^2$ perché possiamo far diventare X il disco $D^2$ che è contratile e $S^1$ no. sarebbe giusto?
Grazie!!
Ho questo esercizio e non so bene da dove iniziare..
Sia $X=S^2 \bigcup \{(x,0,0):-1\leq x\leq 1\}$
(i) Calcolare il suo gruppo fondamentale e dipintare sopra i generatrici di questo gruppo.
(ii) È omeomorfo a $S^1$? e a $S^2$?
(III) ha lo stesso tipo di omotopia da $S^1$? e da $S^2$?
Per calcolare il gruppo fondamentale, dovrei usare il teorema di Seifert-Van Kampen?
Per (iii), io credo che non è omotopo a $S^1$ ma si a $S^2$ perché possiamo far diventare X il disco $D^2$ che è contratile e $S^1$ no. sarebbe giusto?
Grazie!!
Risposte
Se non vedo male: \(\displaystyle X\) è omotopo al wedge \(\displaystyle\mathbb{S}^2\bigvee\mathbb{S}^2\).
No, non è vero;
però è facile notare che \(\displaystyle X\) non è né omotopo e né omeomorfo ad \(\displaystyle\mathbb{S}^2\): basta trovare un buco!
però è facile notare che \(\displaystyle X\) non è né omotopo e né omeomorfo ad \(\displaystyle\mathbb{S}^2\): basta trovare un buco!
@j18eos: Non dovrebbe essere piuttosto \( \mathbb S^2 \bigvee \mathbb S^1 \)? L'idea è quella di spostare i due punti di intersezione in modo che diventano uguali e a questo punto si ha un cappio collegato alla sfera per un punto..
@paduana: Né \(X\), né \(\mathbb S^2\) sono contrattili. E la tua risposta non è corretta. Usa Seifert-Van Kampen con lo spazio che ti abbiamo indicato.
@paduana: Né \(X\), né \(\mathbb S^2\) sono contrattili. E la tua risposta non è corretta. Usa Seifert-Van Kampen con lo spazio che ti abbiamo indicato.
Infatti, mi sono (quasi-)corretto;
sì apatriarca, il wedge corretto è \(\displaystyle\mathbb{S}^2\bigvee\mathbb{S}^1\) ed è facile usare il teorema di Seifert-Van Kampen su di esso.
sì apatriarca, il wedge corretto è \(\displaystyle\mathbb{S}^2\bigvee\mathbb{S}^1\) ed è facile usare il teorema di Seifert-Van Kampen su di esso.
Anzitutto, scusatemi, avevo capito male lo spazio X.
Per dire che X è omotopo a $S^2 \vee S^1$, posso per esempio trascinare i due punti al punto N (nord) di $S^2$? Non lo vedo..
E per usare Seifert-Van Kampen, quando scelgo i due aperti, prenderei U $S^1$ con un pezzo di $S^2$ affinche sia aperto e V $S^2$ con un pezzo di $S^1$, avendo come intersezione il punto N?
Non ho chiarissime le idee
Grazie mille!
Per dire che X è omotopo a $S^2 \vee S^1$, posso per esempio trascinare i due punti al punto N (nord) di $S^2$? Non lo vedo..
E per usare Seifert-Van Kampen, quando scelgo i due aperti, prenderei U $S^1$ con un pezzo di $S^2$ affinche sia aperto e V $S^2$ con un pezzo di $S^1$, avendo come intersezione il punto N?
Non ho chiarissime le idee
Grazie mille!
"paduana":Riesci a descrivere lo spazio \(\displaystyle X\)?
...trascinare... due... chiarissime...
Penso di si, la sfera $S^2$ con un segmento nella metá.
La costruzione a cui hai pensato va bene.
Quindi, come hai detto tu, prova a prendere un aperto dato dal segmento e due dischettini attaccati agli estremi (altrimenti non e' aperto), che e' semplicemente connesso; prendi poi un altro aperto dato dalla sfera con due pispolini del segmento (sempre perche' altrimenti non e' aperto), controlla che le ipotesi di Van Kampen valgano e applicalo per trovare il $\pi_1$ di $X$.
Lo stesso argomento mostra in generale che se si attacca una $1$-cella a uno spazio $Y$, allora il gruppo fondamentale dello spazio che si ottiene e' \(\pi_1(Y) \ast \mathbb{Z}\).
Per quanto riguarda gli omeomorfismi, e' facile vedere che il tuo $X$ non e' omeomorfo ne' a $S^1$, ne' a $S^2$ (non hai neanche omeo locali).
Puoi concludere che $X$ non ha lo stesso tipo di omotopia di $S^2$ (perche' non hanno lo stesso $\pi_1$). Non so bene come dire che non ha lo stesso tipo di omotopia di $S^1$ senza usare cannoni.
Quindi, come hai detto tu, prova a prendere un aperto dato dal segmento e due dischettini attaccati agli estremi (altrimenti non e' aperto), che e' semplicemente connesso; prendi poi un altro aperto dato dalla sfera con due pispolini del segmento (sempre perche' altrimenti non e' aperto), controlla che le ipotesi di Van Kampen valgano e applicalo per trovare il $\pi_1$ di $X$.
Lo stesso argomento mostra in generale che se si attacca una $1$-cella a uno spazio $Y$, allora il gruppo fondamentale dello spazio che si ottiene e' \(\pi_1(Y) \ast \mathbb{Z}\).
Per quanto riguarda gli omeomorfismi, e' facile vedere che il tuo $X$ non e' omeomorfo ne' a $S^1$, ne' a $S^2$ (non hai neanche omeo locali).
Puoi concludere che $X$ non ha lo stesso tipo di omotopia di $S^2$ (perche' non hanno lo stesso $\pi_1$). Non so bene come dire che non ha lo stesso tipo di omotopia di $S^1$ senza usare cannoni.
"Pappappero":
se si attacca una $1$-cella a uno spazio $Y$, allora il gruppo fondamentale dello spazio che si ottiene e' $\pi_1(Y) \oplus \mathbb{Z}$.
La notazione $\oplus$ e' formalmente errata: la somma diretta ha senso tra gruppi abeliani, quello che ti interessa in questo caso e' comunque un coprodotto, ma in \(\bf Grp\), dove questo coprodotto ha la forma del prodotto libero. E' infatti una conseguenza del teorema di SVK che \(\pi_1(\lor_{i\in I} X_i)\cong \ast_{i\in I} \pi_1(X))\) (e in effetti, vale lo stesso per gli altri gruppi di omotopia se non ricordo male).
Puoi concludere che $X$ non ha lo stesso tipo di omotopia di $S^2$ (perche' non hanno lo stesso $\pi_1$). Non so bene come dire che non ha lo stesso tipo di omotopia di $S^1$ senza usare cannoni.
Cosa intendi per cannoni? Mi sembra semplice finire alla luce del fatto che come dicevate sopra $X$ e' omotopo a \(S^2\lor S^1\): i gruppi di omotopia di $X$ allora sono gli stessi di $S^2$ dal secondo in poi, perche' \(S^1\simeq K(\mathbb Z,1)\) e' uno spazio di Eilenberg-Mac Lane.
Questo problema e' vagamente correlato: http://www.scienzematematiche.it/forum/ ... f=9&t=3814
Non credo che in un corso base su queste cose si parli del secondo gruppo di omotopia (forse si..nel mio non se ne parlo', se non per far capire intuitivamente che una sfera e un piano son diversi..l'impressione fu che tra il primo gruppo si omotopia e gli altri c'e' un sacco di lavoro da fare).
Piuttosto, senza scomodare il secondo gruppo di omotopia, piuttosto parlerei del secondo gruppo di omologia (che si calcola a mano facilmente per la sfera, usando l'omologia simpliciale). Pero' anche in quel caso, son cose un po' piu' avanzate del gruppo fondamentale.
Non ho in mente dimostrazioni che usino solo la nozione di equivalenza omotopica.
Per il libero $\mathbb{Z}$, sopra, hai ragione...mi son confuso io. Correggo...
Piuttosto, senza scomodare il secondo gruppo di omotopia, piuttosto parlerei del secondo gruppo di omologia (che si calcola a mano facilmente per la sfera, usando l'omologia simpliciale). Pero' anche in quel caso, son cose un po' piu' avanzate del gruppo fondamentale.
Non ho in mente dimostrazioni che usino solo la nozione di equivalenza omotopica.
Per il libero $\mathbb{Z}$, sopra, hai ragione...mi son confuso io. Correggo...
"Pappappero":
l'impressione fu che tra il primo gruppo si omotopia e gli altri c'e' un sacco di lavoro da fare).
Beh, oddio: primo gruppo di omotopia di X = classi di omotopia di mappe continue dal cerchio a $X$
$n$-esimo gruppo di omotopia di $X$ = classi di omotopia di mappe continue da $S^n$ a $X$.
Fine. Ignoro davvero la reverenza che solitamente le persone hanno verso i gruppi di omotopia di ordine superiore al primo... Sara' difficile calcolarli, ma capire come sono definiti (e la ragione per cui \(\pi_n(S^n\cong \mathbb Z\)) e' estremamente semplice.
Piuttosto, senza scomodare il secondo gruppo di omotopia, piuttosto parlerei del secondo gruppo di omologia (che si calcola a mano facilmente per la sfera, usando l'omologia simpliciale). Pero' anche in quel caso, son cose un po' piu' avanzate del gruppo fondamentale.
Anche questo e' un po' barare, ammettilo
Lo ammetto, ma trovo il calcolo dell'omologia simpliciale della $n$-sfera più immediato di quello del $n$-esimo gruppo fondamentale.
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