Calcolare dimensione di un sottospazio
Salve a tutti,sono uno studente iscritto al primo anno di ingegneria informatica e sto avendo serie difficoltà nel capire alcuni argomenti di algebra lineare. Ecco la domanda che vorrei porvi, anche se può sembrare banale, ma sto avendo serie difficoltà.
La domanda è questa: come faccio a calcolare la dimensione di uno spazio vettoriale???
Allora io di solito per calcolare la dimensione se stiamo in R3 faccio, dimV=n-rango, dove n in questo caso sarebbe 3, però ho visto anche che in altri casi la dimensione corrisponde direttamente al rango della matrice.
Vorrei sapere in quali casi la dimensione corrisponde al rango e in quali la dimensione corrisponde a n-rango?
Ringrazio anticipatamente tutti per la disponibilità. Spero di aver scritto tutto rispettando le regole del forum, in caso contrario provvederò subito a correggere il post.
La domanda è questa: come faccio a calcolare la dimensione di uno spazio vettoriale???
Allora io di solito per calcolare la dimensione se stiamo in R3 faccio, dimV=n-rango, dove n in questo caso sarebbe 3, però ho visto anche che in altri casi la dimensione corrisponde direttamente al rango della matrice.
Vorrei sapere in quali casi la dimensione corrisponde al rango e in quali la dimensione corrisponde a n-rango?
Ringrazio anticipatamente tutti per la disponibilità. Spero di aver scritto tutto rispettando le regole del forum, in caso contrario provvederò subito a correggere il post.
Risposte
Benvenuto nel forum! 
Nelle tue parole mi sembra di notare abbastanza confusione. Che c'entra il rango di una matrice con la dimensione di un sottospazio? Cioè, può centrare in molti modi ma spiegati meglio così cerco di aiutarti. Così non saprei che risponderti per non fare confusione.
Nelle tue parole mi sembra di notare abbastanza confusione. Che c'entra il rango di una matrice con la dimensione di un sottospazio? Cioè, può centrare in molti modi ma spiegati meglio così cerco di aiutarti. Così non saprei che risponderti per non fare confusione.
Ciao Emar, grazie mille per la risposta 
. Ora mi spiego meglio postando due esempi.
1) Nello spazio vettoriale $R^22$ si considerano i seguenti sottospazi vettoriali:
S= $ ( ( 0 , 2 ),(-1 , 1 ) ) $ $ ( ( 1 , 0 ),( 0 , 0 ) ) $ $ ( ( 5 , 2 ),( -1 , 1 ) ) $ $ ( ( 0 , 4 ),( -2 , 2 ) ) $
ora per calcolare la dimensione di S procedo in questo modo:
S= $ ( ( 0 , 2 , -1 , 1 ),( 1 , 0 , 0 , 0 ),( 5 , 2 , -1 , 1 ),( 0 , 4 , -2 , 2 ) ) $
calcolo il rango della matrice che sarebbe 2, e quindi DimS=2
Esempio 2:
Determinare la dimensione del seguente sottospazio di $R^5$:
U= $ { ( x1-x3=0 ),( x2-2x5=0 ),( x2+x4=0 ):} $
faccia la matrice associata del sistema e ottengo:
$ Sigma ( ( 1 , 0 , -1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 , 0 , -2 ),( 0 , 1 , 0 , 1 , 0 ) ) $
calcolo il rango che sarebbe 3, e per la dimensione faccio DimU=n-rgU=5-3=2
Non so se sono stato chiaro, ma spero di si.Quello che mi interessa è sapere se effettivamente sono due approcci valido oppure se sto sbagliando tutto, e se vanno bene volevo sapere anche quando si usa uno e quando l'altro.
Grazie in anticipo a tutti coloro che risponderanno!
. Ora mi spiego meglio postando due esempi.1) Nello spazio vettoriale $R^22$ si considerano i seguenti sottospazi vettoriali:
S= $ ( ( 0 , 2 ),(-1 , 1 ) ) $ $ ( ( 1 , 0 ),( 0 , 0 ) ) $ $ ( ( 5 , 2 ),( -1 , 1 ) ) $ $ ( ( 0 , 4 ),( -2 , 2 ) ) $
ora per calcolare la dimensione di S procedo in questo modo:
S= $ ( ( 0 , 2 , -1 , 1 ),( 1 , 0 , 0 , 0 ),( 5 , 2 , -1 , 1 ),( 0 , 4 , -2 , 2 ) ) $
calcolo il rango della matrice che sarebbe 2, e quindi DimS=2
Esempio 2:
Determinare la dimensione del seguente sottospazio di $R^5$:
U= $ { ( x1-x3=0 ),( x2-2x5=0 ),( x2+x4=0 ):} $
faccia la matrice associata del sistema e ottengo:
$ Sigma ( ( 1 , 0 , -1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 , 0 , -2 ),( 0 , 1 , 0 , 1 , 0 ) ) $
calcolo il rango che sarebbe 3, e per la dimensione faccio DimU=n-rgU=5-3=2
Non so se sono stato chiaro, ma spero di si.Quello che mi interessa è sapere se effettivamente sono due approcci valido oppure se sto sbagliando tutto, e se vanno bene volevo sapere anche quando si usa uno e quando l'altro.
Grazie in anticipo a tutti coloro che risponderanno!
I due esempi che hai riportato sono molto diversi.
Nel primo abbiamo un insieme di vettori \(\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\dots,\mathbf{v}_r\}\) e dobbiamo verificare quanti di questi sono linearmente indipendenti, ovvero dobbiamo trovare una base.
Il metodo più veloci è affiancarli in una matrice
\[\left( \mathbf{v}_1 \ \mathbf{v}_2 \ \dots \ \mathbf{v}_r\right)\]
e calcolarne il rango. Il rango sarà il numero di colonne linearmente indipendenti.
Diciamo che in questo caso usi la matrice per comodità come uno strumento che ti permette, calcolando il rango, di stabilire quanti vettori sono linearmente indipendenti.
Nel secondo esempio invece la situazione è molto diversa. Abbiamo un sottospazio che è definito mediante un sistema di equazioni \(A\mathbf{x} = \mathbf{0}\).
Il tuo sottospazio quindi coincide con il nucleo (kernel) della matrice \(A\), \(\mathcal{N}(A)\).
Per il teorema di nullità più rango si ha:
\[n = \dim \mathcal{R}(A) = \dim \mathcal{N}(A) + \mathrm{rank}(A)\]
Da cui:
\[\dim \mathcal{N}(A) = n - \mathrm{rank}(A)\]
Ripeto, sono due cose moooolto diverse tra loro, è bene che tu capisca la differenza!
Nel primo abbiamo un insieme di vettori \(\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\dots,\mathbf{v}_r\}\) e dobbiamo verificare quanti di questi sono linearmente indipendenti, ovvero dobbiamo trovare una base.
Il metodo più veloci è affiancarli in una matrice
\[\left( \mathbf{v}_1 \ \mathbf{v}_2 \ \dots \ \mathbf{v}_r\right)\]
e calcolarne il rango. Il rango sarà il numero di colonne linearmente indipendenti.
Diciamo che in questo caso usi la matrice per comodità come uno strumento che ti permette, calcolando il rango, di stabilire quanti vettori sono linearmente indipendenti.
Nel secondo esempio invece la situazione è molto diversa. Abbiamo un sottospazio che è definito mediante un sistema di equazioni \(A\mathbf{x} = \mathbf{0}\).
Il tuo sottospazio quindi coincide con il nucleo (kernel) della matrice \(A\), \(\mathcal{N}(A)\).
Per il teorema di nullità più rango si ha:
\[n = \dim \mathcal{R}(A) = \dim \mathcal{N}(A) + \mathrm{rank}(A)\]
Da cui:
\[\dim \mathcal{N}(A) = n - \mathrm{rank}(A)\]
Ripeto, sono due cose moooolto diverse tra loro, è bene che tu capisca la differenza!
Grazie mille ora ho capito Ora tutto è più chiaro, grazie ancora per la disponibilità
Ora tutto è più chiaro, grazie ancora per la disponibilità
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