Calcolare base del sottospazio S

[aly101]

Salve, vorrei chiedere un aiuto per questo esercizio che non mi è molto chiaro.
a) Si determini una base per il sottospazio S di R4 generato dai vettori alpha 1 (1,1,0,1), alpha 2 (1,0,1,1) alpha 3 (1,-1,1,-1), alpha 4 (2,2,1,4)
b)si dica se il vettore v=(0,3,-2,2) appartiene al sottospazio S
c)si dica (motivando la risposta) se i vettori {alpha 1, alpha 2, alpha 3, v}formano una base di R4.

Riducendo la matrice a forma ridotta, ho scoperto che tre vettori sono linerarmente indipendeti e uno è linearmente dipendente, quindi quei tre vettori formano la base?

Grazie.

[minomic]

Ciao e benvenuto. Partiamo dal primo punto: i quattro vettori dati sono un sistema di generatori dello spazio, ma sono anche una base? Ovvero: sono tutti necessari per generare $S$? Questo significa chiedersi se sono tra loro linearmente indipendenti oppure no. Per scoprirlo costruiamo la matrice $$\begin{bmatrix}1&1&1&2 \\ 1&0&-1&2 \\ 0&1&1&1 \\ 1&1&-1&4\end{bmatrix}$$ e calcoliamo il suo rango. I vettori linearmente indipendenti formano una base.

[minomic]

I punti (b) e (c) sono piuttosto simili: una volta capito che i primi tre vettori formano una base di $S$ si aggiunge il vettore $v$ e si controlla se questo $v$ è linearmente dipendente dagli altri tre. Se lo è allora $v \in S$, altrimenti abbiamo quattro vettori di dimensione quattro e linearmente indipendenti che quindi formano una base di $RR^4$.

[aly101]

Grazie mille per l'aiuto!