Calcolare autovalori,matrice particolare

[edge1]

Salve ragazzi, qualcuno di voi vede un metodo veloce per calcolare gli autovalori di:
$( (3 , 1 , 1 , 1), (1 , 3 , 1 , 1), (1 , 1 ,3 , 1),(1 ,1,1,3)) $
Per via algerbrica 'normale' sembra esageratamente lungo?
Grazie?

[cirasa]

Io passerei ad un discorso più generale:

Sia $B_n$ la matrice $n\times n$ i cui elementi sono tutti $1$.
Non è difficile provare che $B_n$ è diagonalizzabile con spettro $Sp(B_n)={0,n}$ e autospazi
$V_0=ker(B_n)={(x_1,x_2,...,x_n)\in RR^n: x_1+x_2+...+x_n=0}$,
$V_n={(x,...,x): x\in R}=<(1,1,...,1)>$.

Inoltre, non è difficile provare che, se $A=B_n+kI_n$, con $k\in RR$, dove $I_n$ è la matrice identica
i) Se $v$ è autovettore di $A$ relativo all'autovalore $\lambda$, allora $v$ è autovettore di $B_n$ relativo all'autovalore $lambda-k$.
ii) Se $v$ è autovettore di $B_n$ relativo all'autovalore $\mu$, allora $v$ è autovettore di $A$ relativo all'autovalore $\mu+k$.

Segue che anche $A$ è dieagonalizzabile, lo spettro di $A$ è $Sp(A)={k, n+k}$ e gli autospazi sono gli stessi.

Se ho ragionato giustamente, nel tuo caso $A=B_4+2I$ dovrebbe essere diagonalizzabile, con due autovalori $2$ e $6$ e gli autospazi sono
$W_2={(x,y,z,t)\in RR^4: x+y+z+t=0}$,
$W_6=<(1,1,1,1)>$.