Calcola Im(a).

[jenky1]

Salve a tutti, stavo svolgendo questo esercizio:
Determinare la trasformazione lineare T : R3 --> R3 che ha come
matrice associata rispetto alla base
B = ((1; 0; 0); (0;1; 0); (1; 0; 1))
la matrice

A=$((3,1,0),(-1,1,2),(0,0,5))$

Determinare anche l'immagine del vettore v = (2; 0; 1)


Il problema sono riuscito a risolverlo(credo) quasi completamente.
Ho ricavato la trasformazione lineare e la dimensione del nucleo(che se non ho fatto errori dovrebbe essere 0);
Il problema è che non capisco come ricavare l'immagine rispetto al vettore dato.
Ringrazio in anticipo chi mi aiuterà .



Scusate mi ero dimenticato di aggiungere che la trasformazione lineare che ho ricavato è la seguente:
(4x+y+z,-x+3z,25z); sperando sia corretta

[jenky1]

"franced":[quote="jenky"]
Determinare la trasformazione lineare T : R3 --> R3 che ha come
matrice associata rispetto alla base
B = ((1; 0; 0); (0;¡1; 0); (1; 0; 1))
la matrice

A=$((3,1,0),(1,1,2),(0,0,5))$

Determinare anche l'immagine del vettore v = (2; 0; 1)

La trasformazione è la seguente:

[tex]T : \left( \begin{array}{c}
x \\
y \\
z
\end{array} \right) \longmapsto \left( \begin{array}{c}
3\,x + y \\
x + y + 2\,z \\
5\,z
\end{array} \right)[/tex]

se calcoli il determinante della matrice [tex]A[/tex] scopri che è [tex]\neq 0[/tex],
quindi il nucleo è solo il vettore nullo (la matrice è invertibile).

Per ottenere l'immagine del vettore [tex](2,0,1)^T[/tex]
basta moltiplicare la matrice [tex]A[/tex] per il vettore:

[tex]\left( \begin{array}{ccc}
3 & 1 & 0 \\[1mm]
1 & 1 & 2 \\[1mm]
0 & 0 & 5 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
2 \\
0 \\
1
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}
6 \\
4 \\
5
\end{array} \right)[/tex][/quote]

Ti ringrazio infinitamente.
Ho capito adesso, purtroppo nella trasformazione ho moltiplicato 2 volte per le singole trasformazioni della base e non so il perchè
Per l'immagine grazie, adesso ho capito come fare a ricavarla, prima mi sfuggiva il passaggio della moltiplicazione, grazie mille ancora.

[mistake89]

Franced, ma quell'applicazione che hai determinato non è stata calcolata considerando $B$ base canonica? qui non dovrebbe essere così, essendo la base non canonica, quindi l'applicazione dovrebbe essere diversa. O sto sbagliando qualcosa?

[franced]

Guarda, io purtroppo ho letto male il testo, ero convinto che si trattasse della base canonica!!

[franced]

"jenky":Salve a tutti, stavo svolgendo questo esercizio:
Determinare la trasformazione lineare T : R3 --> R3 che ha come
matrice associata rispetto alla base
B = ((1; 0; 0); (0;1; 0); (1; 0; 1))
la matrice

A=$((3,1,0),(-1,1,2),(0,0,5))$

Determinare anche l'immagine del vettore v = (2; 0; 1)

Determiniamo le immagini dei vettori della base assegnata:

[tex]\left( \begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0
\end{array} \right) \longmapsto 3 \cdot \left( \begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0
\end{array} \right) + (-1) \cdot \left( \begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0
\end{array} \right) + 0 \cdot \left( \begin{array}{c}
1 \\
0 \\
1
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}
3 \\
-1 \\
0
\end{array} \right)[/tex]



[tex]\left( \begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0
\end{array} \right) \longmapsto 1 \cdot \left( \begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0
\end{array} \right) + 1 \cdot \left( \begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0
\end{array} \right) + 0 \cdot \left( \begin{array}{c}
1 \\
0 \\
1
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}
1 \\
1 \\
0
\end{array} \right) \end{array}[/tex]



[tex]\left( \begin{array}{c}
1 \\
0 \\
1
\end{array} \right) \longmapsto 0 \cdot \left( \begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0
\end{array} \right)
+ 2 \cdot \left( \begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0
\end{array} \right) + 5 \cdot \left( \begin{array}{c}
1 \\
0 \\
1
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}
5 \\
2 \\
5
\end{array} \right)[/tex]

a questo punto determino l'immagine del vettore [tex](0,0,1)^T[/tex] come
differenza delle immagini dei vettori [tex](1,0,1)^T[/tex] e [tex](1,0,0)^T[/tex] :

[tex]\left( \begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1
\end{array} \right) \longmapsto \left( \begin{array}{c}
5 \\
2 \\
5
\end{array} \right) - \left( \begin{array}{c}
3 \\
-1 \\
0
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}
2 \\
3 \\
5
\end{array} \right)[/tex]

quindi la matrice che rappresenta l'endomorfismo rispetto
alla base canonica in partenza e in arrivo è

[tex]B = \left( \begin{array}{ccc}
3 & 1 & 2 \\
-1 & 1 & 3 \\
0 & 0 & 5
\end{array} \right)[/tex]

[franced]

Propongo anche il metodo classico per trovare la matrice che rappresenta
l'endomorfismo rispetto alla base canonica in partenza e in arrivo:

[tex]B = \left( \begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc}
3 & 1 & 0 \\
-1 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 5
\end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array} \right)^{-1} = \left( \begin{array}{ccc}
3 & 1 & 2 \\
-1 & 1 & 3 \\
0 & 0 & 5
\end{array} \right)[/tex]

se vogliamo calcolare l'immagine del vettore [tex](2,0,1)^T[/tex]
abbiamo:

[tex]\left( \begin{array}{ccc}
3 & 1 & 2 \\
-1 & 1 & 3 \\
0 & 0 & 5
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
2 \\
0 \\
1
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}
8 \\
1 \\
5
\end{array} \right)[/tex]

[jenky1]

Ciao.
Ringrazio per la correzione .

[franced]

Prego.

Non so quale metodo preferisci, forse il secondo è quello più semplice..