Buona definizione di una funzione
Ciao a tutti, non so se sia la sezione giusta ma non sapevo dove altro metterla.
All'università abbiamo trattato il "problema della buona definizione" cosi l'ha definito la mia professoressa.
Sostanzialmente si tratta di verificare se una equazione data è una funzione.
Esempio
Provare che $f:(ZZ_6, +)\rightarrow(S_10, ○)$ dato da $f([a]) = sigma^a$ è una funzione.
La permutazione che consideriamo in $S_10$ ha periodo $6$ ed è la seguente:
$(1 5 10)(2 4 6 8 3 7)$
Quel che ho capito è che bisogna dimostrare qualcosa a che fare col periodo.
Qualcuno può spiegarmi in questo esempio e soprattutto in generale, come si prova che è una funzione.
All'università abbiamo trattato il "problema della buona definizione" cosi l'ha definito la mia professoressa.
Sostanzialmente si tratta di verificare se una equazione data è una funzione.
Esempio
Provare che $f:(ZZ_6, +)\rightarrow(S_10, ○)$ dato da $f([a]) = sigma^a$ è una funzione.
La permutazione che consideriamo in $S_10$ ha periodo $6$ ed è la seguente:
$(1 5 10)(2 4 6 8 3 7)$
Quel che ho capito è che bisogna dimostrare qualcosa a che fare col periodo.
Qualcuno può spiegarmi in questo esempio e soprattutto in generale, come si prova che è una funzione.
Risposte
Formalmente, una funzione $f : X \to Y$ e' una relazione $R \subseteq X\times Y$ tale per cui l'insieme \( I_x = \{ y \in Y \mid (x,y)\in R \} \) ha esattamente un elemento.
Quello che devi controllare e' che secondo la definizione data "c'e' solo un posto" dove un elemento di \(\mathbb{Z}_6\) puo' andare.
Nelle definizioni di funzioni il cui dominio e' un insieme di classi di equivalenza, del resto, questa e' una richiesta ragionevole non triviale; se devi definire dove va una classe di equivalenza di numeri congrui ad $a$ modulo $6$, la definizione della tua funzione deve essere invariante rispetto al cambio del rappresentante che scegli per quella classe di equivalenza (vuoi che 1 e 6 vadano, ad esempio, nello stesso elemento, dato che $[1]=[7]$ in \(\mathbb{Z}_6\)).
Incidentalmente, questa e' una conseguenza di quella che si chiama una proprieta' universale: se $h : X \to Y$ e' una funzione, il dato di $f$ equivale al dato di un'altra funzione $X/R \to Y$ dove $X/R$ e' l'insieme quoziente che risulta dall'aver identificato \(x, x'\) se e solo se \(h(x) = h(x')\). Vedi qui.
Venendo al tuo esempio: prendi \([a] \in \mathbb{Z}_6\): devi dimostrare che, prendendo $b$ tale che $[a]=$ si ha $\sigma^a = \sigma^b$. Del resto se $[a]=$ significa che $b = a+6k$ e adesso allora $\sigma^b = \sigma^a \sigma^{6k}=\sigma^a$. []
Quello che devi controllare e' che secondo la definizione data "c'e' solo un posto" dove un elemento di \(\mathbb{Z}_6\) puo' andare.
Nelle definizioni di funzioni il cui dominio e' un insieme di classi di equivalenza, del resto, questa e' una richiesta ragionevole non triviale; se devi definire dove va una classe di equivalenza di numeri congrui ad $a$ modulo $6$, la definizione della tua funzione deve essere invariante rispetto al cambio del rappresentante che scegli per quella classe di equivalenza (vuoi che 1 e 6 vadano, ad esempio, nello stesso elemento, dato che $[1]=[7]$ in \(\mathbb{Z}_6\)).
Incidentalmente, questa e' una conseguenza di quella che si chiama una proprieta' universale: se $h : X \to Y$ e' una funzione, il dato di $f$ equivale al dato di un'altra funzione $X/R \to Y$ dove $X/R$ e' l'insieme quoziente che risulta dall'aver identificato \(x, x'\) se e solo se \(h(x) = h(x')\). Vedi qui.
Venendo al tuo esempio: prendi \([a] \in \mathbb{Z}_6\): devi dimostrare che, prendendo $b$ tale che $[a]=$ si ha $\sigma^a = \sigma^b$. Del resto se $[a]=$ significa che $b = a+6k$ e adesso allora $\sigma^b = \sigma^a \sigma^{6k}=\sigma^a$. []
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