Brainstorming: orientabilità di una varietà?
Mi piacerebbe sentire i vostri pareri. Voi come definite (o come vi hanno definito) l'orientabilità di una varietà topologica? E di una varietà differenziabile di classe [tex]k \ge 1[/tex]?
A voi la parola!
A voi la parola!
Risposte
"Zilpha":
un pò assolutista...
Non lo nego.
"Zilpha":
sono completamente d'accordo. Ci ho fatto la tesi su quest'argomento e in nessun corso di Geometria era mai stata quantomeno accennata la possibilità di abbandonare una trattazione di tipo assiomatico in favore di una descrizione in termini di azione di gruppo.. e dal mio punto di vista, la seconda è molto più digeribile della prima (una volta che si conosce il significato di quello che si va ad utilizzare). E ritengo scandaloso insegnare la Geometria mettendo in un angolo il programma di Klein (è quello che è stato fatto ai corsi che ho seguito).
Approvo. Ma non è vero che il programma di Klein viene messo in un angolo, altrimenti algebra lineare non si farebbe in Geometria 1. Semplicemente, ci si "dimentica" di dire la cosa fondamentale, ossia di spiegare perché algebra lineare fa parte di Geometria 1. I miei corsi sono stati come i tuoi; tieni presente che praticamente tutta la parte delle mie conoscenze antecedente alle parole "algebra commutativa", "algebra omologica", "teoria dei fasci" è stato imparato da autodidatta.
non mi smazzo a leggere tutto per il momento, lo faro' quando ho tempo: solo una cosa. E' gia' stato detto che se si prende la coomologia a coefficienti in $\mathbb Z_2$ tutte le varieta' sono orientabili? Se si', le mie conoscenze sull'argomento terminano qui
Mathematics is a part of physics. Physics is an experimental science, a part of natural science. Mathematics is the part of physics where experiments are cheap.
The Jacobi identity (which forces the heights of a triangle to cross at one point) is an experimental fact in the same way as that the Earth is round (that is, homeomorphic to a ball). But it can be discovered with less expense.
OT per OT, e' "scandaloso" che un fisico faccia queste affermazioni: la Terra e', come ogni altro ente fisico, un agglomerato di atomi, quindi non e' un corpo a geometria continua (lo spazio e' per lo piu' vuoto, e il numero di atomi in ogni porzione di esso e' finito: tanto piu' che non disponiamo di una nozione "fisica" di continua decomponibilita' dello spazio). Noi rappresentiamo la Terra come una palla perche' approssimiamo al continuo qualcosa di discreto (ma sicuramente non viviamo in un Universo che segue leggi topologiche, perche' strappare fogli e fare buchi e' possibile). Senza contare poi un problema epistemico essenziale: quale topologia dovrebbe avere il cosmo (limitiamoci all'universo osservabile)? Di certo non quella reale, per quanto appena detto. Ma dovrebbe essere una topologia che lo rende uno spazio paracompatto? Uno spazio di Alexandrov? Uno spazio T0, T1, T2, ... ? E se si', perche' proprio quella topologia, perche' proprio quelle ipotesi?
Arnold scriveva libri eccellenti per i Fisici, ma appena e' un matematico (che conosca un po' di raffinatezze) a prenderli in mano, gia' dalle prime righe riesce a smontarli. E' curioso.
"killing_buddha":
:D non mi smazzo a leggere tutto per il momento, lo faro' quando ho tempo: solo una cosa. E' gia' stato detto che se si prende la coomologia a coefficienti in $\mathbb Z_2$ tutte le varieta' sono orientabili? Se si', le mie conoscenze sull'argomento terminano qui
Non è stato detto, ma alla luce della mia definizione è ovvio, perché [tex]|(\mathbb Z / 2 \mathbb Z)^\times| = 1[/tex] e quindi c'è una sola scelta possibile del generatore, ossia un solo automorfismo di [tex]\mathbb Z / 2 \mathbb Z[/tex] pensato come [tex]\mathbb Z / 2 \mathbb Z[/tex]-modulo (quello banale).
Personalmente, attendo con ansia il tuo parere in proposito!
"killing_buddha":
Senza contare poi un problema epistemico essenziale: quale topologia dovrebbe avere il cosmo (limitiamoci all'universo osservabile)? Di certo non quella reale, per quanto appena detto. Ma dovrebbe essere una topologia che lo rende uno spazio paracompatto? Uno spazio di Alexandrov? Uno spazio T0, T1, T2, ... ? E se si', perche' proprio quella topologia, perche' proprio quelle ipotesi?
Eh! Vediamo in larga parte il mondo dallo stesso punto di vista...
Si puo' splittare il topic? La conversazione mi interessa...
Sostengo la mozione di killing_buddha. Tipo da qui o magari dal messaggio prima si potrebbe portare in "Generale".
Certo, senz'altro. Volete che lo faccia io?
Se ne hai voglia, ci faresti un piacere!
"maurer":
Il punto è che io non ho per nulla intuizione fisica. Se mi dicessi che due palle da biliardo si scontrano e poi iniziano a volare verso lo spazio siderale, la mia intuizione fisica non mi avvertirebbe che c'è qualcosa di strano. Quindi non mi stupisco che la cosa non mi sia mai piaciuta. In particolare, ricordo un odio viscerale verso la regola della mano destra, perché non ha mai avuto un senso per me: è una convenzione, ma, come spiegavo prima, sono abbastanza contrario alle convenzioni in matematica, specie quando se ne può fare davvero a meno, magari pagando il prezzo della non semplicità.
Continuo a non comprendere la tua insofferenza per una definizione come tante altre. E' solo una definizione e come tale è necessariamente conseguenza di una qualche convenzione. Lo stesso vale anche per la tua definizione su varietà topologiche. Hai infatti scelto di prendere in considerazione il gruppo di omologia \(H_n(X, X-x_0;\mathbb Z)\), di definire quindi un fascio con quelle spighe e di chiamare orientazione una sezione di tale fascio... Ma per quale motivo dovresti chiamare orientazione proprio questo e non altro? Che cosa rappresenta questa orientazione localmente se non proprio la classe di equivalenza che non ti piace? Altre definizioni sono probabilmente possibili, ma questa è semplice e richiede poche conoscenze di base di algebra lineare. Non c'è alcuna necessità di definire concetti avanzati come l'omologia o i fasci per definirla e può essere insegnata e usata anche da persone non particolarmente portate o interessate alla matematica pura e astratta. E' quindi ovvio che questa è la definizione più comune di orientazione. Ci sono comunque parecchie ragioni per considerare il gruppo di trasformazioni che mantengono l'orientamento di uno spazio vettoriale e il fatto stesso che ne stiamo parlando ed esistono tutte queste generalizzazioni ne è la prova. Non credo che questa definizione abbia meno diritto di esistere delle altre.
Purtroppo, e parlo per dolorosa esperienza, l'intuizione fisica mi ha sempre portato fuori strada. A partire dalla loro idea malata di infinitesimo, il loro buffo modo di usare il calcolo tensoriale senza sapere che cos'è un tensore e la loro ostinazione nell'usare i multi-indici, la loro arroganza nel voler trattare la Quantum Field Theory senza avere le capacità - o quantomeno le conoscenze - per farlo (click, su gentile segnalazione di killing_buddha che è davvero bravo in questo settore a differenza del sottoscritto, che invece è molto ignorante in merito). In particolare, in cosa può essermi d'aiuto la visione fisica di un tensore? Io ritengo che abbia rallentato il mio apprendimento della matematica per almeno un anno. Se prima del corso di Fisica 2 avessi seguito un bel corso di algebra commutativa, mi sarei limitato a dare un'occhiata di superiorità alla parola tensore usata male in quel contesto: invece ho cercato per mesi di capire cosa passasse per la loro testa, e devo dire che è stato uno sforzo inutile.
Quando parlavo di intuizione non mi riferivo a questo e credo che l'uso delle coordinate sia spesso una limitazione alla capacità di visualizzazione e intuizione. Certamente non condivido poi l'uso poco formale dei concetti matematici visti spesso durante l'insegnamento della fisica. C'è ovviamente uno spazio per risultati non del tutto formalizzati o provati nella ricerca, ma il risultato finale non deve contenere tali mancanze. Nonostante debba mantenere l'aspetto intuitivo. Con intuizione intendo la capacità di "visualizzare" e comprendere un concetto, riuscendo a vederlo globalmente nelle sue diverse sfaccettature e significati. La capacità di visualizzare con la mente qualcosa non è limitata alla visione tridimensionale, si può riuscire a visualizzare anche spazi di dimensione infinita con un po' di immaginazione (per esempio come limite di qualcosa). Esistono poi diversi modi per visualizzare qualcosa. Prendi per esempio in considerazione un insieme di dati che rappresenta un grafo. Questo si può rappresentare come un insieme di nodi e archi, oppure come ad un insieme di valori o ancora in modo gerarchico o.. La capacità di visualizzare qualcosa è quindi per me la capacità di riuscire a dare una rappresentazione visiva di un concetto nei suoi diversi livelli e dai diversi punti di vista. Per me è importante, ma credo che dipenda dalle persone. Io per esempio odio fare i calcoli e non amo le dimostrazioni in cui una serie di calcoli non ben specificati, anche se corretti, porta ad un qualche risultato, ma so che alcuni preferiscono invece affidarsi ai calcoli. Per la cronaca, odio anche limitarmi ad una sola definizione e ad un solo punto di vista in matematica. Io credo che per comprendere fino in fondo l'idea di orientabilità e delle sue conseguenza è necessario padroneggiare tutte queste definizioni. La vera bellezza sta per me nel riuscire a vedere i collegamenti tra le varie definizioni e tra i diversi strumenti nel contempo apprezzare la semplicità del concetto che sta alla base di tutto questo.
[xdom="Martino"]Ragazzi, del confronto fisica-matematica si continui (per favore) a parlare in questo filone che ho creato appositamente.[/xdom]
L'argomento richiesto non esiste!
Fatto, grazie 
Scusate se riesumo questo vecchio post, però mi sorge una domanda leggendo il mio libro di testo.
Secondo voi perché si può affermare che ogni ipersuperfice parametrizzata embedded è sicuramente orientabile?
Secondo me perchè essendo una ipersuperficie e dalla definizione di embedding la matrice associata al differenziale deve avere rango massimo, questo porta a definire ovunque un vettore normale N non nullo e poi si deve vedere solo che il segno di questo vettore è concorde ovunque, cosa facile dato che l'embedding è un omeomorfismo locale.
Che ne pensate? Il libro lo da per scontato però non sò, non mi sembra una cosa scontatissima.
Secondo voi perché si può affermare che ogni ipersuperfice parametrizzata embedded è sicuramente orientabile?
Secondo me perchè essendo una ipersuperficie e dalla definizione di embedding la matrice associata al differenziale deve avere rango massimo, questo porta a definire ovunque un vettore normale N non nullo e poi si deve vedere solo che il segno di questo vettore è concorde ovunque, cosa facile dato che l'embedding è un omeomorfismo locale.
Che ne pensate? Il libro lo da per scontato però non sò, non mi sembra una cosa scontatissima.
Nessuno di voi ha qualche idea a proposito?
Devi chiarire prima le definizioni. Che è una "ipersuperficie parametrizzata embedded"?
Perdonami dissonance, credevo fosse chiaro.
Un Ipersuperficie $S$ è semplicemente una varietà differenziabile di dimensione $n-1$ nello spazio.
Per "parametrizzazione embedded" intendo che abbiamo una parametrizzazione iniettiva $F:= mathbb{R}^(n-1) rightarrow mathbb{R^n}$ di $S$ in modo che se restringiamo la parametrizzazione $F: D sub mathbb{R}^(n-1) rightarrow F(D) sub S$ questa è un omeomorfismo sull'imagine. In pratica è una carta locale (o l'inverso di una carta, noi purtroppo in classe chiamiamo carte entrambe le funzioni, sia $F$ che $F^-1$) .
Scusami ancora, sono stato più chiaro adesso?
Un Ipersuperficie $S$ è semplicemente una varietà differenziabile di dimensione $n-1$ nello spazio.
Per "parametrizzazione embedded" intendo che abbiamo una parametrizzazione iniettiva $F:= mathbb{R}^(n-1) rightarrow mathbb{R^n}$ di $S$ in modo che se restringiamo la parametrizzazione $F: D sub mathbb{R}^(n-1) rightarrow F(D) sub S$ questa è un omeomorfismo sull'imagine. In pratica è una carta locale (o l'inverso di una carta, noi purtroppo in classe chiamiamo carte entrambe le funzioni, sia $F$ che $F^-1$) .
Scusami ancora, sono stato più chiaro adesso?
E allora è ovvio, perché $S$ è diffeomorfo ad $R^(n-1)$, mi pare, no?
Si, forse è ovvio. Però dovremmo vedere che l'orientabilità è invariante per diffeomorfismi.
Forse però no, ripensandoci hai ragione:
Il mio libro dice che "Un’ ipersuperficie S ⊂ $mathbb{R}^n$ si dice orientabile se ammette un campo vettoriale normale N continuo mai nullo", ora $mathbb{R}^(n-1)=K$ ha un banale campo normale vedendolo come immerso in $mathbb{R}^n$. Sapendo noi che il differenziale induce un isomorfismo tra i relativi spazi tangenti dobbiamo assumere che lo faccia anche sul rispettivo campo normale, giusto? Nel senso che il campo normale a $K$ visto come $dF(K)$ è normale alla varietà.
EDIT
sono stato un pò impreciso (un pò tanto) , $dF$ induce un isomorfismo tra spazi $mathbb{R}^(n-1)$, però possiamo estenderlo ad uno in $mathbb(R)^n$ in maniera semplice e da qui dovrebbe seguire quello che dicevo prima.
Forse però no, ripensandoci hai ragione:
Il mio libro dice che "Un’ ipersuperficie S ⊂ $mathbb{R}^n$ si dice orientabile se ammette un campo vettoriale normale N continuo mai nullo", ora $mathbb{R}^(n-1)=K$ ha un banale campo normale vedendolo come immerso in $mathbb{R}^n$. Sapendo noi che il differenziale induce un isomorfismo tra i relativi spazi tangenti dobbiamo assumere che lo faccia anche sul rispettivo campo normale, giusto? Nel senso che il campo normale a $K$ visto come $dF(K)$ è normale alla varietà.
EDIT
sono stato un pò impreciso (un pò tanto) , $dF$ induce un isomorfismo tra spazi $mathbb{R}^(n-1)$, però possiamo estenderlo ad uno in $mathbb(R)^n$ in maniera semplice e da qui dovrebbe seguire quello che dicevo prima.
Mah, mi sembra un sacco di tecnicismi non molto interessanti. E' ovvio che l'orientabilità è una proprietà differenziale, e sennò che starebbe a fare in questo contesto? Non puoi deformare un nastro di Moebius fino a farlo diventare una striscia diritta (e orientabile).
Si hai ragione, però spesso in Geo Diff mi trovo davanti (per la prima volta) a tanti concetti che per me risultano poco intuitivi ed il rigore mi aiuta a canonizzarli. Altrimenti tante volte finisco per credere delle cose che poi risultano false. Comunque grazie per la risposta, ero solamente rimasto un pò stranito perchè anche il libro la mette come cosa scontata solamente che io non riuscivo a capirla, o almeno non mi sembrava così ovvia ed avevo paura di essermi perso qualcosa.
Purtroppo ogni volta che mi dico "Cavolo sto cominciando a capire qualcosa di questa materia" rileggo le dispense e mi ritrovo perso, ogni volta c'è qualcosa che non avevo considerato, un aspetto che non avevo approfondito.
Purtroppo ogni volta che mi dico "Cavolo sto cominciando a capire qualcosa di questa materia" rileggo le dispense e mi ritrovo perso, ogni volta c'è qualcosa che non avevo considerato, un aspetto che non avevo approfondito.
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