Box topology vs topologia prodotto
Trova una collezione numerabile di spazi compatti \( (X_i,\tau_{X_i} ) \) tale che il loro prodotto con la box topology non è compatto.
Ora il teorema di Tychonoff afferma che il prodotto di una qualunque collezione di spazi compatti è compatto con la topologia prodotto.
Quindi rileggendomi le definizioni delle due topologie mi sono reso conto che non capisco una cosa della definizione
Box topology:
Sia \( I \) un insieme di indici di cardinalità infinita e \(( (X_i, \tau_{X_i} ))_{i \in I} \) una collezione di spazi topologici. Sia \( \tau_{\prod_{i \in I} X_i}^B \) sia la collezione di sottoinsiemi di \( \prod_{i \in I} X_i \) della forma \( \prod_{i \in I} U_i \), dove ciascun \( U_i \subseteq X_i \) è aperto in \( X_i \).
Allora \( \tau_{\prod_{i \in I} X_i}^B \) è una base per la topologia ed è chiamata box topology.
Topologia prodotto (su una collezione infinita di spazi)
Sia \( I \) un insieme di indici di cardinalità infinita e \(( (X_i, \tau_{X_i} ))_{i \in I} \) una collezione di spazi topologici. Sia \( \tau_{\prod_{i \in I} X_i}^B \) sia la collezione di sottoinsiemi di \( \prod_{i \in I} X_i \) della forma \( \prod_{i \in I} U_i \), dove ciascun \( U_i \subseteq X_i \) è aperto in \( X_i \), and for all but finitely many \(i \), \( U_i = X_i \), (questa frase non la capisco... per tutti ma per finiti?
)
Allora \( \tau_{\prod_{i \in I} X_i}^B \) è una base per la topologia ed è chiamata topologia prodotto.
Ora oltre a non capire quella frase in inglese, non vedo molta differenza tra le due topologie. Nel senso che come mai il teorema di Tychonoff funziona per la topologia prodotto ma posso trovare un controesempio per la box topology?
Ora il teorema di Tychonoff afferma che il prodotto di una qualunque collezione di spazi compatti è compatto con la topologia prodotto.
Quindi rileggendomi le definizioni delle due topologie mi sono reso conto che non capisco una cosa della definizione
Box topology:
Sia \( I \) un insieme di indici di cardinalità infinita e \(( (X_i, \tau_{X_i} ))_{i \in I} \) una collezione di spazi topologici. Sia \( \tau_{\prod_{i \in I} X_i}^B \) sia la collezione di sottoinsiemi di \( \prod_{i \in I} X_i \) della forma \( \prod_{i \in I} U_i \), dove ciascun \( U_i \subseteq X_i \) è aperto in \( X_i \).
Allora \( \tau_{\prod_{i \in I} X_i}^B \) è una base per la topologia ed è chiamata box topology.
Topologia prodotto (su una collezione infinita di spazi)
Sia \( I \) un insieme di indici di cardinalità infinita e \(( (X_i, \tau_{X_i} ))_{i \in I} \) una collezione di spazi topologici. Sia \( \tau_{\prod_{i \in I} X_i}^B \) sia la collezione di sottoinsiemi di \( \prod_{i \in I} X_i \) della forma \( \prod_{i \in I} U_i \), dove ciascun \( U_i \subseteq X_i \) è aperto in \( X_i \), and for all but finitely many \(i \), \( U_i = X_i \), (questa frase non la capisco... per tutti ma per finiti?
)Allora \( \tau_{\prod_{i \in I} X_i}^B \) è una base per la topologia ed è chiamata topologia prodotto.
Ora oltre a non capire quella frase in inglese, non vedo molta differenza tra le due topologie. Nel senso che come mai il teorema di Tychonoff funziona per la topologia prodotto ma posso trovare un controesempio per la box topology?
Risposte
La frase vuol dire "per tutti gli $i$ tranne per un numero finito", il che fa capire che c'è molta differenza con la box topology.
"otta96":
La frase vuol dire "per tutti gli $i$ tranne per un numero finito", il che fa capire che c'è molta differenza con la box topology.
Okay, grazie!
Quindi sostanzialmente la box topology contiene molti più aperti della product topology, ed è per questo motivo che è più "difficile" essere compatto perché ho più scelta di collezioni che ricoporono lo spazio e potrebbe essere che non riesco a tirarne fuori un ricoprimento finito?
Esatto, ti dirò di più: il prodotto di infiniti spazi compatti E DI HAUSDORFF (ciascuno con almeno $2$ punti) non è mai compatto per la box topology. Prova a dimostrarlo.
Ci penso, prima però va bene come esempio dell'esercizio il seguente:
Chiamiamo \( X \) il prodotto.
\( X_i = [ - \frac{i-1}{i}, \frac{i-1}{i} ] \) con la topologia euclidea che è compatto.
E notiamo che \( U_{n,i} = ( - \frac{n-1}{i}, \frac{n-1}{i}) \cap X_i \) è aperto in \( \tau_{X_i} \)
Ora ponendo \( U_n = \prod_{i \in I } U_{n,i} \) abbiamo che è aperto in \( \tau_{\prod X_i}\)
Abbiamo che \( X= \bigcup_{n \in \mathbb{N} } U_n \) infatti se \( U_{n,i} = X_i \) e per ogni \( n > i \)
Supponendo che \( X \) sia compatto abbiamo che esiste una sottocopertura finita di indici \( N_0 \) tale che
\( X= \bigcup_{n \in N_0 } U_n \) .
Quindi esiste un \( N \in N_0 \) massimale tale che \( U_{N} = \prod_{i \in I} U_{N,i} \)
Ora abbiamo però che per ogni \( j \geq N \) \( X_{j+1} = [ - \frac{j}{j+1}, \frac{j}{j+1} ]\), ma abbiamo che \( U_{N,j+1} = ( - \frac{N}{j+1}, \frac{N}{j+1} ) \cap X_{j+1} = ( - \frac{N}{j+1}, \frac{N}{j+1} ) \)
quindi ciascun \( X_{j+1} \) non è ricoperto e quindi l'intero spazio.
Vi sembra corretto?
Chiamiamo \( X \) il prodotto.
\( X_i = [ - \frac{i-1}{i}, \frac{i-1}{i} ] \) con la topologia euclidea che è compatto.
E notiamo che \( U_{n,i} = ( - \frac{n-1}{i}, \frac{n-1}{i}) \cap X_i \) è aperto in \( \tau_{X_i} \)
Ora ponendo \( U_n = \prod_{i \in I } U_{n,i} \) abbiamo che è aperto in \( \tau_{\prod X_i}\)
Abbiamo che \( X= \bigcup_{n \in \mathbb{N} } U_n \) infatti se \( U_{n,i} = X_i \) e per ogni \( n > i \)
Supponendo che \( X \) sia compatto abbiamo che esiste una sottocopertura finita di indici \( N_0 \) tale che
\( X= \bigcup_{n \in N_0 } U_n \) .
Quindi esiste un \( N \in N_0 \) massimale tale che \( U_{N} = \prod_{i \in I} U_{N,i} \)
Ora abbiamo però che per ogni \( j \geq N \) \( X_{j+1} = [ - \frac{j}{j+1}, \frac{j}{j+1} ]\), ma abbiamo che \( U_{N,j+1} = ( - \frac{N}{j+1}, \frac{N}{j+1} ) \cap X_{j+1} = ( - \frac{N}{j+1}, \frac{N}{j+1} ) \)
quindi ciascun \( X_{j+1} \) non è ricoperto e quindi l'intero spazio.
Vi sembra corretto?
"otta96":
Esatto, ti dirò di più: il prodotto di infiniti spazi compatti E DI HAUSDORFF (ciascuno con almeno $2$ punti) non è mai compatto per la box topology. Prova a dimostrarlo.
Non sono sicuro
Supponiamo che \( X = \prod_{i \in I} X_i\) sia compatto.
Consideriamo \( x_i,y_i \in X_i \) tale che \( x_i \neq y_i \) per tutti un numero infinito di \( i \), non necessariamente tutti, diciamo per \( i \in I_0 \subset I\) con \( \operatorname{card}(I_0) = \infty\). Abbiamo \( \forall i \in I_0 \) che esistono due aperti \( U_{x_i} \) e \( U_{y_i} \) tale che \( U_{x_i} \cap U_{y_i} = \emptyset\)
pertanto poniamo \( V_{x_i}= U_{x_i} \) se \( i \in I_0 \) e \(V_{x_i}=X_i \) se \( i \in I \setminus I_0 \), segue che
\( U_x = \prod_{i \in I_0} V_{x_i} \) è aperto nella box topology. Analogamente \( U_y \).
Risulta chiaro che \( y \not\in U_x \) e \( x \not\in U_y \)
Consideriamo la copertura di aperti \( ( U_x)_{x \in X} \) abbiamo che per compatezza di \( X \) che esiste una sottocopertura finita, e quindi \(k \) punti distinti, \( x^{(1)} ,\ldots, x^{(k)} \in X \) tale che
\[ X = \bigcup_{n=1\ldots,k} U_{x^{(n)} } \]
Siccome ciascun \( X_i \) contiene almeno due elementi, diciamo \( 0_i \) e \( 1_i \).
Se esiste un \( 1 \leq j \leq k \), wlog diciamo \(j=k\), tale che \( \forall \ell \in \{1,\ldots,k-1\} \) risulta che \( x_{i}^{(k)} \neq x_{i}^{(\ell)} \), per un infinita di \( i \in I \).
Allora definiamo \( y \in X \) a partire da \( x^{(k)} \), scegliendo un infinità di indici \( i \in I_1 \subset I \) tale che \( y_i = x_{i}^{(k)} \) e un infinita di indici \( i \in I \setminus I_1 \) tale che \( y_i \neq x_{i}^{(k)} \).
Allora \( \forall \ell \in \{1,\ldots, k \} \) risulta che \( y_i \neq x_{i}^{(\ell)} \), per un infinità di \( i \in I \).
Se invece gli \( x^{(1)} ,\ldots, x^{(k)} \in X \) differiscono a due a due solo per un numero finito di indici \( i \in I \) allora vi sono un infinità di indici tale che \( x_{i}^{(1)} =\ldots= x_{i}^{(k)} \), diciamo \( I_{=} \).
Allora poniamo per gli \( i \in I \), diciamo \( i \in I_{=} \) tale che
\( x_{i}^{(1)} =\ldots= x_{i}^{(k)} \) poniamo \( y_i \neq x_{i}^{(1)}\).
E per \( i \in I \setminus I_{=} \) scegliamo arbitrariamente \( y_i = 0_i \) (è indifferente infatti.
Abbiamo nuovamente un \( y \) che differisce dagli \(x^{(1)},\ldots, x^{(k)} \) in un infinità di indici.
Pertanto in entrambi i casi \( y \not\in U_{x^{(n)} } \) per ogni \( n=1,\ldots,k \) e dunque \( y \not\in \bigcup_{n=1\ldots,k} U_{x^{(n)} } \)
Assurdo!
ps: la mia costruzione di \( y \) non mi convince minimamente! Però rimango convinto che si riesca a costruire un \( y \) tale che differisca da ogni \( x^{(1)} ,\ldots, x^{(k)} \in X \) in un infinità di indici \( i \in I \).
pps: noto solo ora che non ho utilizzato la compatezza degli \( X_i \) quindi o quello che ho detto è sbagliato oppure è un ipotesi superflua, nel senso che il prodotto di un infinita di spazi di hausdorff non è compatto nella box topology.
"3m0o":
Ci penso, prima però va bene come esempio dell'esercizio il seguente:
Chiamiamo \( X \) il prodotto.
\( X_i = [ - \frac{i-1}{i}, \frac{i-1}{i} ] \) con la topologia euclidea che è compatto.
E notiamo che \( U_{n,i} = ( - \frac{n-1}{i}, \frac{n-1}{i}) \cap X_i \) è aperto in \( \tau_{X_i} \)
Ora ponendo \( U_n = \prod_{i \in I } U_{n,i} \) abbiamo che è aperto in \( \tau_{\prod X_i}\)
Abbiamo che \( X= \bigcup_{n \in \mathbb{N} } U_n \) infatti se \( U_{n,i} = X_i \) e per ogni \( n > i \)
Supponendo che \( X \) sia compatto abbiamo che esiste una sottocopertura finita di indici \( N_0 \) tale che
\( X= \bigcup_{n \in N_0 } U_n \) .
Quindi esiste un \( N \in N_0 \) massimale tale che \( U_{N} = \prod_{i \in I} U_{N,i} \)
Ora abbiamo però che per ogni \( j \geq N \) \( X_{j+1} = [ - \frac{j}{j+1}, \frac{j}{j+1} ]\), ma abbiamo che \( U_{N,j+1} = ( - \frac{N}{j+1}, \frac{N}{j+1} ) \cap X_{j+1} = ( - \frac{N}{j+1}, \frac{N}{j+1} ) \)
quindi ciascun \( X_{j+1} \) non è ricoperto e quindi l'intero spazio.
Vi sembra corretto?
Mi sembra un argomentazione un po' strana ma non sono riuscito a trovare niente di specifico che non andasse, quindi mi tocca dire che mi sembra corretta.
Nell'ultimo messaggio non capisco da dove tiri fuori il ricoprimento, gli $U_x$ sono definiti per un fissato $x\inX$, non per tutti, quindi non capisco cosa intendi.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo