Bottiglia di Klein

[ostrogoto1]

Salve, girovagando su Internet mi sono imbattuto in alcune pagine che riguardano la bottiglia di Klein nelle quali si spiega come è costruito un tale oggetto e si presentano un paio di immersioni nello spazio tridimensionale con relative equazioni parametriche. Si aggiunge però che questo oggetto sta nello spazio 4D e il prezzo da pagare per le immersioni in 3D è l'autointersezione della superficie che in realtà in 4D non esiste.
Ho due dubbi:
i) non riesco a trovare le equazioni parametriche della bottiglia di Klein in 4D. Tali equazioni esistono?
ii) non ho chiarissimo il significato di immersione: se ricordo bene, in geometria si dava un oggetto e lo immergeva in uno spazio a dimensioni superiori, non inferiori. In questo caso si intende forse che le rappresentazioni in 3D siano delle sezioni dell'oggetto in 4D?
Grazie..

[mathmum]

Prova a dare un'occhiata qui per ulteriori spunti:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=klein+bottle
http://mathworld.wolfram.com/KleinBottle.html

Ciao,
S.

[vict85]

"ostrogoto":Salve, girovagando su Internet mi sono imbattuto in alcune pagine che riguardano la bottiglia di Klein nelle quali si spiega come è costruito un tale oggetto e si presentano un paio di immersioni nello spazio tridimensionale con relative equazioni parametriche. Si aggiunge però che questo oggetto sta nello spazio 4D e il prezzo da pagare per le immersioni in 3D è l'autointersezione della superficie che in realtà in 4D non esiste.
Ho due dubbi:
i) non riesco a trovare le equazioni parametriche della bottiglia di Klein in 4D. Tali equazioni esistono?
ii) non ho chiarissimo il significato di immersione: se ricordo bene, in geometria si dava un oggetto e lo immergeva in uno spazio a dimensioni superiori, non inferiori. In questo caso si intende forse che le rappresentazioni in 3D siano delle sezioni dell'oggetto in 4D?
Grazie..

L'immersione di cui parlano lì è una sorta di proiezione dello spazio a 4 dimensioni in un di 3. Come associare ad un oggetto di 3 dimensioni la sua ombra.

[ostrogoto1]

Va bene, ho intuito il concetto di immersione. Però se dovessi esplicitamente scrivere le equazioni parametriche di una bottiglia di Klein in 4D, posto che abbia un senso, come faccio?

[mathmum]

"vict85":L'immersione di cui parlano lì è una sorta di proiezione dello spazio a 4 dimensioni in un di 3. Come associare ad un oggetto di 3 dimensioni la sua ombra.

Questa è decisamente una semplificazione, tra l'altro bisognerebbe stare attenti quando si parla di immersione senza precisare quale, in quanto un "immersion" può avere autointersezioni, un"embedding" no. Una bottiglia di Klein è un "immersion", quindi è un embedding locale.

Scusa il riferimento in inglese, ma quello in italiano è orrendo e parziale http://en.wikipedia.org/wiki/Immersion_ ... ematics%29

Tra l'altro mi sono accorta or ora che si parla anche qui dell'argomento embedding: https://www.matematicamente.it/forum/geo ... 48599.html

Il problema su 3d per la bottiglia di klein si lega quindi all'intersezione delle superfici. In 4d dovremo considerare la mappa
$G:\R^2 \mapsto \R^4$ $G(u,v)=((rcosv+a)cosu,(rcosv+a)sinu,rsinvcos\frac{u}{2},rsinvsin\frac{u}{2})$