Bloccato in un sistema parametrico
Ciao a tutti!
Come credo molti, sto sbattendo la testa nell'esame di Algebra Lineare. Mi sono ritrovato questo sistema:
\begin{cases} (\beta + 2)X + \beta T = -2\\ (\beta + 2)X + (\beta + 1)Z + \beta T = -1\\ X + Y -\beta T = 2 -\beta\\ Y -\beta T = 3 - \beta \end{cases}
Ho proceduto a creare le matrici complete e incomplete, e ho provato a calcolarne il determinante usando il metodo di Laplace sulla terza riga. Il problema è che i determinanti, usando lo stesso metodo su altri elementi per verifica, mi risultano differenti. Sicuramente ho sbagliato i calcoli, ma questo sistema mi ha fatto entrare un pò in crisi, anche perchè addirittura a volte sembrava impossibile (cosa non realistica, visto che si trattava di un esercizio da esame).
Ho anche provato a ridurre con Gauss, per calcolare il rango, e ottenevo rango 4, ma sicuramente ho sbagliato anche quello.
Conosco già la teoria di risoluzione dei sistemi lineari, un poco meno quelli parametrici, ma credevo di riuscire a farlo. Potreste darmi una mano?
Come credo molti, sto sbattendo la testa nell'esame di Algebra Lineare. Mi sono ritrovato questo sistema:
\begin{cases} (\beta + 2)X + \beta T = -2\\ (\beta + 2)X + (\beta + 1)Z + \beta T = -1\\ X + Y -\beta T = 2 -\beta\\ Y -\beta T = 3 - \beta \end{cases}
Ho proceduto a creare le matrici complete e incomplete, e ho provato a calcolarne il determinante usando il metodo di Laplace sulla terza riga. Il problema è che i determinanti, usando lo stesso metodo su altri elementi per verifica, mi risultano differenti. Sicuramente ho sbagliato i calcoli, ma questo sistema mi ha fatto entrare un pò in crisi, anche perchè addirittura a volte sembrava impossibile (cosa non realistica, visto che si trattava di un esercizio da esame).
Ho anche provato a ridurre con Gauss, per calcolare il rango, e ottenevo rango 4, ma sicuramente ho sbagliato anche quello.
Conosco già la teoria di risoluzione dei sistemi lineari, un poco meno quelli parametrici, ma credevo di riuscire a farlo. Potreste darmi una mano?
Risposte
Con Gauss ridotto a scala dovrebbe venirti...ovviamente devi discutere i risultati al variare di $beta$
Allora il sistema ridotto a scala è il seguente
$A=((1,0,0,0,-1),(beta-2, 0,0,0,1-beta ), (0,0,beta+1,0,1), (0,0,0,-beta, 3-beta))$
Ora si vede subito che il sistema non ha soluzione quando $beta=2,-1,0$ perché $Rk (A|b) != Rk (A|0)$.
Il problema è trovare la soluzione quando appunto $beta != 2,-1,0$
Sinceramente sto avendo un po' di difficoltà a risolvere il sistema...qualcuno può aiutare?!
$A=((1,0,0,0,-1),(beta-2, 0,0,0,1-beta ), (0,0,beta+1,0,1), (0,0,0,-beta, 3-beta))$
Ora si vede subito che il sistema non ha soluzione quando $beta=2,-1,0$ perché $Rk (A|b) != Rk (A|0)$.
Il problema è trovare la soluzione quando appunto $beta != 2,-1,0$
Sinceramente sto avendo un po' di difficoltà a risolvere il sistema...qualcuno può aiutare?!
Niente da fare, proprio non riesco a trovare una soluzione. La riduzione con Gauss mi restituisce un risultato diverso dal tuo, comunque. Appena ho due minuti cerco di postare ciò che ho fatto.
E' possibile che abbia fatto errori utilizzando Gauss! ora riprovo!
OK ora spero di aver fatto giusto (non ci metterei la mano sul fuoco)
$A=((1,0,0, 0,-1), ((beta +2), 0,0,beta,0),(0,1,0,-beta,(3-beta)), (0,0,(beta +1),0,1))$
Quindi la matrice ha $rk=4$ quando $beta != -1, 0$.
Se $beta=-1, 0$ il sistema non ha soluzioni per Rouche-Capelli perché $rk(A|b) != rk(A|0)$
Mentre se $beta != -1, 0$ il sistema ha soluzioni $((-1), (5), (1/(beta +1)), ((beta+2)/beta))$
OK ora spero di aver fatto giusto (non ci metterei la mano sul fuoco)
$A=((1,0,0, 0,-1), ((beta +2), 0,0,beta,0),(0,1,0,-beta,(3-beta)), (0,0,(beta +1),0,1))$
Quindi la matrice ha $rk=4$ quando $beta != -1, 0$.
Se $beta=-1, 0$ il sistema non ha soluzioni per Rouche-Capelli perché $rk(A|b) != rk(A|0)$
Mentre se $beta != -1, 0$ il sistema ha soluzioni $((-1), (5), (1/(beta +1)), ((beta+2)/beta))$
Non vorrei sbagliarmi, però la tua matrice non mi sembra ridotta a gradini, a causa del pivot sulla seconda riga (b+2).
Il punto dove ho più difficoltà è appunto la riduzione a gradini, perchè mi scopro sempre ad avere un pivot in più nella prima colonna che non riesco ad eliminare. A questo punto provo a mischiare la riduzione per righe con la riduzione per colonne, ma forse sbaglio completamente procedimento.
Gauss lo applico per come sono abituato: utilizzando la prima riga elimino i pivot sulla prima colonna, utilizzando la seconda riga elimino quelli sulla seconda colonna, e così via. Sbaglio procedimento? Devo prima riordinare le righe in un ordine preciso, tale per cui applicare Gauss possa risultare più "comodo" e "sensato"?
Se non erro è applicabile anche alle colonne, in ogni caso, ma non so se è giusto mixarli.
Il punto dove ho più difficoltà è appunto la riduzione a gradini, perchè mi scopro sempre ad avere un pivot in più nella prima colonna che non riesco ad eliminare. A questo punto provo a mischiare la riduzione per righe con la riduzione per colonne, ma forse sbaglio completamente procedimento.
Gauss lo applico per come sono abituato: utilizzando la prima riga elimino i pivot sulla prima colonna, utilizzando la seconda riga elimino quelli sulla seconda colonna, e così via. Sbaglio procedimento? Devo prima riordinare le righe in un ordine preciso, tale per cui applicare Gauss possa risultare più "comodo" e "sensato"?
Se non erro è applicabile anche alle colonne, in ogni caso, ma non so se è giusto mixarli.
Sulla prima colonna non potrai mai avere un termine solo perché hai un termine noto e il parametro $beta$! devi ridurre la matrice il più possibile e poi discutere i casi al variare di $beta$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo