Binomiale e polo

[kit79]

Ciao, ho $1/(w*(e^w -1))$.
$w=0$ dovrebbe essere un polo di secondo ordine...

se io sviluppo l'esponenziale avrei $(w^2+w^3/(2!)+...)^(-1)$ e con l'approssimazione binomiale (posso farla?) avrei $w^2-w^3/(2!)+...$ ma avendo questa "serie di Laurent" solo potenze positive, dovrebbe essere eliminabile e non un polo, però non esistendo il limite non può essere eliminabile...quindi? mi sa che c'è qualcosa che non va nell'approssimazione binomiale...
qualcuno mi dà una mano? grazie.

[ViciousGoblin]

"kit79":Ciao, ho $1/(w*(e^w -1))$.
$w=0$ dovrebbe essere un polo di secondo ordine...

se io sviluppo l'esponenziale avrei $(w^2+w^3/(2!)+...)^(-1)$ e con l'approssimazione binomiale (posso farla?) avrei $w^2-w^3/(2!)+...$ ma avendo questa "serie di Laurent" solo potenze positive, dovrebbe essere eliminabile e non un polo, però non esistendo il limite non può essere eliminabile...quindi? mi sa che c'è qualcosa che non va nell'approssimazione binomiale...
qualcuno mi dà una mano? grazie.

Direi che non puoi fare quella che tu chiami approssimazione binomiale.

La formula che vale e':

$(1+u)^a=1+au+O(u^2)$ PER $u\to0$ !!!!. Tale formula puo' diventare

$(A+u)^a=A^a(1+u/A)^a=A^a(1+a/A u+O(u^2))=A^a+A^{a-1} a u +O(u^2)$ sempre per $u\to 0$, PURCHE' $A> 0$.

Nel tuo caso potresti fare

$(w^2+1/2 w^3+o(w^3))^{-1}=w^{-2}(1+1/2 w)^{-1}=w^{-2}(1-1/2 w +O(w^2))=w^{-2}-1/2 w^{-1}+O(1)$

che continua a dirti che lo zero e' un polo di ordine due (e che il residuo in zero e' $-1/2$).