Basi topologie
Ciao, amici! Trovo un esercizio (E. Sernesi, Geometria II, es. 2.17) in cui si deve dimostrare che la famiglia di intervalli (chiusi nella topologia naturale) \(\{[a,b]:a
Oltretutto so che, se \(\mathcal{B}\) è una famiglia di sottoinsiemi di $X$ tali che \(\bigcup_{B\in\mathcal{B}}B=X\) e tali che per ogni \(A,B\in\mathcal{B}\) l'intersezione \(A\cap B\) è unione di elementi di \(\mathcal{B}\), allora esiste una topologia su $X$ di cui \(\mathcal{B}\) è una base, e non vedo proprio perché, per \(\mathcal{B}=\{[a,b]:a
Grazie di cuore a tutti...
Oltretutto so che, se \(\mathcal{B}\) è una famiglia di sottoinsiemi di $X$ tali che \(\bigcup_{B\in\mathcal{B}}B=X\) e tali che per ogni \(A,B\in\mathcal{B}\) l'intersezione \(A\cap B\) è unione di elementi di \(\mathcal{B}\), allora esiste una topologia su $X$ di cui \(\mathcal{B}\) è una base, e non vedo proprio perché, per \(\mathcal{B}=\{[a,b]:a
Grazie di cuore a tutti...
Risposte
$[0,1] \cap [1,2] = {1}$ cio' non puo' accadere se il primo dei due estremi e' sempre razionale, mentre il secondo, sempre irrazionale.
Già... Spero che sia solo che non sono ancora abituato a ragionare su questo genere di cose e di non aver subito danni cerebrali permanenti a causa del freddo...\(\bigcup_{i\in\mathbb{R}}\text{grazie}_i\) regim!!!
Chiedo scusa se mi inserisco in questa discussione: ho qualche difficolta' ad affrontare un esercizio simile.
Devo dimostrare che, date $tau_1$ e $tau_2$ topologie su X, ${A_1 nn A_2 | A_i in tau_i}$ e' base per una topologia $ tau $ su X.
Ora, io so che $uu(A_1 nn A_2)=(uuA_1)nn(uuA_2)=A_1nnA_2$= aperto non vuoto di $tau$, topologia meno fine tra $tau_1$ e $tau_2$. Dunque, la prima parte e' dimostrata.
La seconda parte dell'esercizio chiede di determinare la topologia $tau$ nel caso in cui $tau_1$ e $tau_2$ siano rispettivamente la topologia delle semirette di $R$ di tipo $(-oo,a)$ e $(a,+oo)$.
Dunque, mi basta considerare la topologia meno fine tra queste due.
Qualcuno mi puo' dire se sto procedendo nel modo corretto?
Grazie!
P.s. ah, aggiungo che si sta parlando di topologie euclidee.
Devo dimostrare che, date $tau_1$ e $tau_2$ topologie su X, ${A_1 nn A_2 | A_i in tau_i}$ e' base per una topologia $ tau $ su X.
Ora, io so che $uu(A_1 nn A_2)=(uuA_1)nn(uuA_2)=A_1nnA_2$= aperto non vuoto di $tau$, topologia meno fine tra $tau_1$ e $tau_2$. Dunque, la prima parte e' dimostrata.
La seconda parte dell'esercizio chiede di determinare la topologia $tau$ nel caso in cui $tau_1$ e $tau_2$ siano rispettivamente la topologia delle semirette di $R$ di tipo $(-oo,a)$ e $(a,+oo)$.
Dunque, mi basta considerare la topologia meno fine tra queste due.
Qualcuno mi puo' dire se sto procedendo nel modo corretto?
Grazie!
P.s. ah, aggiungo che si sta parlando di topologie euclidee.
Esistono anche topologie non comparabili, la lower-limit topology e la k-topology non lo sono, l'intersezione non e', quindi, necessariamente, la meno fine delle due. L'ultimo esercizio mi risulta la topologia banale come intersezione.
edit e' ovviamente scontato che neanche le ultime due topologie sono confrontabili.
edit e' ovviamente scontato che neanche le ultime due topologie sono confrontabili.
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