Basi su campi diversi

[gael90rm]

Ciao a tutti

Mi sono imbattuto in un esercizio che chiede di trovare una base di [tex]W[/tex] su [tex]R[/tex] e su [tex]C[/tex], dove [tex]W[/tex] è l'insieme delle soluzioni dell'equazione

[tex]x1+(1+i)x2=0[/tex] con [tex]x\in C^3[/tex]

Qual è la procedura da seguire???

Risolvo il sistema con il metodo del rango??

Sussiste il teorema [tex]dim(R) V = 2dim(C)V[/tex] ?

[mistake89]

$CC^n$ come $RR$-spazio vettoriale ha questa base $(1,0,...,0),(0,1,0...,0)...,(0,....,1),(i,0,...,0),...,(0,...,i)$

detto volgarmente, mentre in $CC^n$ $CC$-spazio vettoriale $i$ è uno scalare, in $CC^n$ $RR$-spazio vettoriale no!

[mistake89]

"gael90rm":Sussiste il teorema [tex]dim(R) V = 2dim(C)V[/tex] ?

Questa cosa mi sta facendo pensare... magari è un dubbio stupido.
Nel caso di $CC^n$ è ovviamente vero, ma non so se lo è universalmente.
Considerando $CC^2$ e chiamato $V=<(1,0)>$ ad esempio.
E' ovvio che considerato come $CC$ o come $RR$ spazio vettoriale descrive spazi diversi, ma questo non vuol dire che la dimensione sia doppia dell'altro.
Per descrivere lo stesso spazio, quella relazione credo che sia vera.

Sto prendendo una cantonata? Attendo ragguagli dagli esperti

[gael90rm]

Anche se non sono esperto ci provo ^^

Posso dire che [tex]C^n= R^n \oplus iR^n[/tex] quindi una base di [tex]R^n[/tex] è anche una base di [tex]C^n[/tex]

Questo spiega il fatto delle dimensioni, e il fatto che per trovare una base di [tex]R^n[/tex] avendone una di [tex]C^n[/tex] basti moltiplicare gli elementi della base per [tex]i[/tex]

Dico cose assurde?

[mistake89]

è giusto. Attento però è sempre $CC^n$ il nostro spazio.

io però mi riferivo solo alla tua relazione sulle dimensioni.

[cirasa]

Innanzitutto il risultato a cui vi state riferendo (potete provare a dimostrarlo, se ci sono problemi chiedete)

Sia [tex]W[/tex] un [tex]\mathbb{C}[/tex]-spazio vettoriale di dimensione finita. Allora [tex]V[/tex] è un [tex]\mathbb{R}[/tex]-spazio vettoriale di dimensione finita e vale [tex]\dim_{\mathbb{R}}V=2\dim_{\mathbb{C}}V[/tex].

Poi alcune precisazioni:

"mistake89":Considerando $CC^2$ e chiamato $V=<(1,0)>$ ad esempio.
E' ovvio che considerato come $CC$ o come $RR$ spazio vettoriale descrive spazi diversi, ma questo non vuol dire che la dimensione sia doppia dell'altro.

Se [tex]V=<(1,0)>_\mathbb{R}=\{(x,0):x\in\mathbb{R}\}[/tex], non ha senso calcolare [tex]\dim_{\mathbb{C}}V[/tex], perchè [tex]V[/tex] non è un [tex]\mathbb{C}[/tex]-sottospazio vettoriale di [tex]\mathbb{C}^2[/tex].
[tex]V[/tex] deve essere [tex]\mathbb{C}[/tex]-spazio per ipotesi.

"gael90rm":Questo spiega il fatto delle dimensioni, e il fatto che per trovare una base di [tex]R^n[/tex] avendone una di [tex]C^n[/tex] basti moltiplicare gli elementi della base per [tex]i[/tex]

Qui non ti sei spiegato bene. La base canonica [tex]e_1,...,e_n[/tex] è base di [tex]\mathbb{C}^n[/tex]. Vuol dire che [tex]ie_1,...,ie_n[/tex] è base di [tex]\mathbb{R}^n[/tex]? Certamente no, non sono nemmeno vettori di [tex]\mathbb{R}^n[/tex]!

[mistake89]

Cirasa non ho capito perchè non può essere considerato $CC$ spazio vettoriale. Io pensavo che essendo $CC$ o $RR$ semplicemente un dominio di scalari, non ci fosse problemi a considerarlo in un modo o in un altro. Solo che mentre in uno $(a,0)$ $ainRR$ l'altro varia in $CC$. E' vero che è un esempio banale ma era solo per chiedermi se effettivamente quella relazione è sempre vera (è vero nel caso debba descrivere esattamente lo stesso spazio!).
potrebbe funzionare anche con la coppia $(i,0)$. Se lo consideriamo come $RR$-spazio vettoriale avremo $(ai,0)$ con $ainRR$. Avremo perciò vettori la cui prima coordinata sarà la sola parte immaginaria, mentre nel caso di $CC$ spazio vettoriale, potremo avere anche numeri reali.
Ma la dimensione rimane sempre $1$. Ovviamente descrivono spazi diversi, ma la relazione $dim_RR(V)$ non mi sembra uguale a $dim_CC(V)$ o non ha senso questa mia osservazione?

Sarà una cosa stupida non ne dubito

[cirasa]

Semplicemente devi stare attento a quale spazio consideri:
[tex]V=<(1,0)>_\mathbb{R}=\{(x,0):x\in\mathbb{R}\}[/tex]
[tex]W=<(1,0)>_\mathbb{C}=\{(z,0):z\in\mathbb{C}\}[/tex]
sono ovviamente insiemi diversi!

[tex]V[/tex] è uno spazio vettoriale su [tex]\mathbb{R}[/tex] con [tex]\dim_{\mathbb{R}}V=1[/tex]; una sua [tex]\mathbb{R}[/tex]-base è [tex]\{(1,0)\}[/tex].
Nota che [tex]V[/tex] non è un [tex]\mathbb{C}[/tex]-spazio vettoriale perchè [tex]i(1,0)=(i,0)\notin V[/tex]. Per questo motivo non ha senso considerare [tex]\dim_{\mathbb{C}}V[/tex].

[tex]W[/tex] è uno spazio vettoriale su [tex]\mathbb{C}[/tex] con [tex]\dim_{\mathbb{C}}W=1[/tex]; una sua [tex]\mathbb{C}[/tex]-base è [tex]\{(1,0)\}[/tex].
Invece [tex]W[/tex] è anche un [tex]\mathbb{R}[/tex]-spazio vettoriale con [tex]\dim_\mathbb{R}W=2[/tex]; una sua [tex]\mathbb{R}[/tex]-base è [tex]\{(1,0),(i,0)\}[/tex].

Spero di essermi spiegato bene e di aver chiarito il tuo dubbio.

[mistake89]

secondo me era la mia domanda troppo stupida!

quello che hai spiegato lo conosco e mi chiaro, ti ringrazio per aver cercato di capire l'incapibile

[gael90rm]

Perfetto Ora ci sono! Grazie!