Basi spazi vettoriali

[delca85]

Ciao a tutti!Sono alle prese con questo esercizio di algebra lineare:
Dati i sottospazi di $RR^4$:
$V={(x,y,z,t)inRR^4 : {x+3y+2z-t=0;y+z-t=0}}$
$W=<(2,1,-3,-1),(1,1,0,0)>$
a)Determinare una base di $WnnnV$ e di $V+W$.
b)Determinare se esistono due sottospazi non nulli e distinti contenuti in $V$ e altri due contenuti in $V+W$.
c)Esiste un sottospazio U di $RR^4$ tale che $RR^4=Uo+W$?
La base che ho trovato io di $WnnnU$ è $<(2,1,-3,-1)>$.Per gli altri punti ho dei problemi.Più che altro perchè non mi è chiara la somma tra sottospazi vettoriali.
Se qualcuno mi potesse aiutare...

[_Tipper]

Per trovare una base di $V + W$ puoi ragionare così: puoi sistemare in una matrice i vettori relativi ad una base di $V$ e quelli relativi ad una base di $W$, riduci la matrice a scala per righe, le righe diverse dal vettore nullo saranno i vettori costituenti una base di $V + W$.

In particolare, dato che la dimensione di $V$ è due (almeno così a occhio mi pare), grazie alla relazione di Grassman puoi subito dire che la dimensione di $V + W$ è tre.

[delca85]

Perchè posso dire che la base di $W+V$ è 3?Non conosco la relazione di Grassman.Ma quando mi si chiede di fare $W+V$ ,che cos'è che devo fare?Ho capito in quali casi questa è la somma diretta e so la definizione,ma non so cosa fare praticamente.Grazie mille!

[_Tipper]

L'insieme $V + W$ è l'insieme dei vettori che si possono scrivere come somma fra un vettore di $V$ e uno di $W$. Si dimostra che se $V$ e $W$ sono due spazi vettoriali allora anche $W$ è uno spazio vettoriale, e si può dimostrare anche la relazione di Grassman, che dice che

$\dim(V + W) = \dim(V) + \dim(W) - \dim(V \cap W)$

Per determinare una base di $V + W$ puoi ragionare come ti ho detto nel post precedente.

[delca85]

Ok grazie mille,ho capito come si fa per le basi di $V+W$.E invece come devo ragionare per trovare i sottospazi di $V$?Sicuramente posso dire che avranno $dim<=2$ e poi?Scusa ,ma mi sono persa una leziona di algebra lineare ed allora faccio un po' fatica.

[_Tipper]

I sottospazi di $V$ possono avere dimensione $0$ (lo spazio nullo), dimensione $2$ ($V$ stesso), o dimensione $1$. Pertanto è possibile trovare (almeno) due sottospazi di $V$ distinti. In particolare, se una base di $V$ è $\{v_1, v_2\}$ allora puoi considerare il sottospazio $V_1$ generato dal vettore $v_1$ e il sottospazio $V_2$ generato dal vettore $V_2$. Sono entrambi sottospazi di $V$ di dimensione $1$, e sono distinti, dato che $v_1$ e $v_2$ sono vettori linearmente indipendenti.

[delca85]

Grande!Ora è davvero tutto chiaro!Grazie mille!!!!!