Basi Ortonormali per $ W $ e $ W^(_|_) $
Ciao a tutti! Chi può controllare con me questo esercizio su cui ho molti dubbi.. Vi ringrazio anticipatamente
Sia $ W sube R^4 $ dato da equazioni $ \{(x_1+x_2+x_3=0),(2x_2+x_3+x_4):} $
Trovare :
a) Basi ortonormali per W
b) Basi ortonormali per $ W^(_|_) $
c) Trovare la formula della proiezione ortogonale di $ (x_1 x_2 x_3 x_4) $ su W
Io ho risolto cosi :
a) Date le due equazioni prendo come base (praticamente uso i coeff.)
$ v_1=(1,1,1,0) $ e $ v_2=(0,2,1,1) $ e sono linearmente indipendenti.
Utilizzo il metodo di Gram-Schmidt :
$ w_1=v_1=(1,1,1,0) $
$ w_2=v_2 - ()/(||w_1||^2) w1 = (-1,1,0,1) $
Normalizzo :
$ u_1=w_1/||w_1|| = (1/sqrt(3),1/sqrt(3),1/sqrt(3),0) $
$ u_2=w_2/||w_2|| = (-1/sqrt(3),1/sqrt(3),0,1/sqrt(3)) $
b) Risolvo il sistema e ottengo
$ \{(x_1=(-t+s)/2),(x_2=(-(t-s))/2),(x_3=t),(x_4=s):} $
Dopodichè trovo una base $<(-1/2,1/2,1,0),(1/2,-1/2,0,1)>$ e la normalizzo come sopra..
A me sembra corretto (ho trovato alcuni esercizi svolti cosi) ma i miei dubbi nascono dal fatto che il prof (e leggendo anche in internet) fa esattamente il contrario : cioe per ricavare una base ortonormale di W risolve il sistema e ottiene le basi e le normalizza (quello che ho fatto io per $ W^(_|_) $ ... quindi dov'è la verità?!
Qual'è il procedimento corretto?!
Per il punto
c) sul libro ho trovato una formula $ ()/() w $ ma non capisco come va usata...
Vi ringrazio in anticipo..
Sia $ W sube R^4 $ dato da equazioni $ \{(x_1+x_2+x_3=0),(2x_2+x_3+x_4):} $
Trovare :
a) Basi ortonormali per W
b) Basi ortonormali per $ W^(_|_) $
c) Trovare la formula della proiezione ortogonale di $ (x_1 x_2 x_3 x_4) $ su W
Io ho risolto cosi :
a) Date le due equazioni prendo come base (praticamente uso i coeff.)
$ v_1=(1,1,1,0) $ e $ v_2=(0,2,1,1) $ e sono linearmente indipendenti.
Utilizzo il metodo di Gram-Schmidt :
$ w_1=v_1=(1,1,1,0) $
$ w_2=v_2 - (
Normalizzo :
$ u_1=w_1/||w_1|| = (1/sqrt(3),1/sqrt(3),1/sqrt(3),0) $
$ u_2=w_2/||w_2|| = (-1/sqrt(3),1/sqrt(3),0,1/sqrt(3)) $
b) Risolvo il sistema e ottengo
$ \{(x_1=(-t+s)/2),(x_2=(-(t-s))/2),(x_3=t),(x_4=s):} $
Dopodichè trovo una base $<(-1/2,1/2,1,0),(1/2,-1/2,0,1)>$ e la normalizzo come sopra..
A me sembra corretto (ho trovato alcuni esercizi svolti cosi) ma i miei dubbi nascono dal fatto che il prof (e leggendo anche in internet) fa esattamente il contrario : cioe per ricavare una base ortonormale di W risolve il sistema e ottiene le basi e le normalizza (quello che ho fatto io per $ W^(_|_) $ ... quindi dov'è la verità?!
Qual'è il procedimento corretto?!
Per il punto
c) sul libro ho trovato una formula $ (
Vi ringrazio in anticipo..
Risposte
Osservazione: [tex]W[/tex] è il sottospazio vettoriale di [tex]\mathbb{R}^4[/tex] dei vettori che soddisfano a quel sistema. I [tex]v_1,v_2[/tex] scelti da te non soddisfano le equazioni cartesiane del sottospazio, quindi non possono nemmeno generarlo. Invece sono ortogonali a [tex]W[/tex]. Quindi per trovare una base di [tex]W[/tex] devi effettivamente risolvere il sistema.
Ciao! Intanto ti ringrazio della risposta... forse comincio a capire...
E quindi per trovare una base di $W^(_|_)$ devo prendere una base di $W$ e risolvere a sistema?
Nel senso...
Se risolvo il sistema dato ottengo che
$ \{(x_1=(s-t)/2),(x_2=(-s-t)/2),(x_3=t),(x_4=s):} $
Quindi ad esempio una base è $ <(-1/2,-1/2,1,0),(1/2,-1/2,0,1)> $ e sono linearmente indipendenti.
Quindi per trovare $ W^(_|_) $ devo risolvere il sistema associato?
Cioe
$ \{(-x/2-y/2+z=0),(x/2-y/2+w=0):} $ ?
Grazie ancora
E quindi per trovare una base di $W^(_|_)$ devo prendere una base di $W$ e risolvere a sistema?
Nel senso...
Se risolvo il sistema dato ottengo che
$ \{(x_1=(s-t)/2),(x_2=(-s-t)/2),(x_3=t),(x_4=s):} $
Quindi ad esempio una base è $ <(-1/2,-1/2,1,0),(1/2,-1/2,0,1)> $ e sono linearmente indipendenti.
Quindi per trovare $ W^(_|_) $ devo risolvere il sistema associato?
Cioe
$ \{(-x/2-y/2+z=0),(x/2-y/2+w=0):} $ ?
Grazie ancora
Quella che hai indicato è una strada possibile. Tuttavia per trovare una base di $W^{_|_}$ è più semplice considerare i coefficienti delle equazioni del sistema che descrive $W$. Infatti quei coefficienti determinano vettori ortogonali a $W$, perciò appartengono a $W^{_|_}$.
Grazie ancora!!!
Quindi semplicemente posso prendere i vettori $v_1=(1,1,1,0)$ e $v_2=(0,2,1,1)$ e poi ortonormalizzarli con Gram-Schmidt?!
Grazie mille!!!
Per l'ultimo punto invece?
Grazie ancora per la disponibiltà
Quindi semplicemente posso prendere i vettori $v_1=(1,1,1,0)$ e $v_2=(0,2,1,1)$ e poi ortonormalizzarli con Gram-Schmidt?!
Grazie mille!!!
Per l'ultimo punto invece?
Grazie ancora per la disponibiltà
giusta l'osservazione di albe
ecco come fare:risolviti il sistema del sottospazio e trovi che:$x_1=-x_2-x_3,x_4=-2x_2-x_3$ da cui ti trovi un vettore per esempio:$u_1=(-2,1,1,-3)$
adesso determina una base ortogonale cosi' fatta:$B'=(u_1,u'_2)$ dove $u'_2$ e' un vettore ortogonale a $u_1$(fai prodotto scalare $v*u_1=0$,dove $v=(x_1,x_2,x_3,x_4)$)
che sono soluzioni del sistema :
${(x_1+x_2+x_3=0),(2x_2+x_3+x_4=0),(-2x_1+x_2+x_3-3x_4=0):}$.poi normalizzi $u_1,u'_2$ e trovi la base ortonormale.
il completamento ortogonale di $W^(\bot)$ non e' altro che vettori $v$ del tipo:$-2x_1+x_2+x_3-3x_4=0$ cioe':$v*u_1$
ecco come fare:risolviti il sistema del sottospazio e trovi che:$x_1=-x_2-x_3,x_4=-2x_2-x_3$ da cui ti trovi un vettore per esempio:$u_1=(-2,1,1,-3)$
adesso determina una base ortogonale cosi' fatta:$B'=(u_1,u'_2)$ dove $u'_2$ e' un vettore ortogonale a $u_1$(fai prodotto scalare $v*u_1=0$,dove $v=(x_1,x_2,x_3,x_4)$)
che sono soluzioni del sistema :
${(x_1+x_2+x_3=0),(2x_2+x_3+x_4=0),(-2x_1+x_2+x_3-3x_4=0):}$.poi normalizzi $u_1,u'_2$ e trovi la base ortonormale.
il completamento ortogonale di $W^(\bot)$ non e' altro che vettori $v$ del tipo:$-2x_1+x_2+x_3-3x_4=0$ cioe':$v*u_1$
Grazie a tutti... ora è più chiaro
Invece per trovare la formula della proiezione di $(x_1 x_2 x_3 x_4)$ su W?
Grazie anticipate
Invece per trovare la formula della proiezione di $(x_1 x_2 x_3 x_4)$ su W?
Grazie anticipate
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