Basi ortogonali e ortonormali
Salve,
Sto svolgendo un esercizio di algebra lineare di cui ne riporto il testo:
$ A={{0,2,2},{2,3,-1},{2,-1,-1}} $
Determinare gli indici di positività, ..; Sia $ ga $ il prodotto scalare definito da $ ga(X,Y)=(tX)AY $; determinare una base ga-ortogonale e, se esiste, una base ga-ortonormale.
A questo punto comincio determinando il polinomio caratteristico e quindi gli autovalori della matrice A che sono $ {4,-6^(1/2),6^(1/2)} $.
Di questi mi calcolo gli autovettori che sono rispettivamente: $ {1,2,0} $, $ {(-2/5)[1+6^(1/2)],(1/5)[1+6^(1/2)],1} $, $ {(2/5)[-1+6^(1/2)],(1/5)[1-6^(1/2)],1} $.
Ora credo che la base ortonormale sia composta dagli autovettori trasposti ciascuno diviso per la propria norma.
Ma anche se questo fosse vero non ricordo come calcolare la base ortogonale.
Ho un pò di confusione..
Se qualcuno potesse indicarmi anche a grandi linee i passaggi da svolgere una volta determinati gli autovalori e i rispettivi autovettori per calcolare le basi ortogonali e ortonormali della matrice di partenza.
Grazie per l'attenzione e scusate il disturbo
Sto svolgendo un esercizio di algebra lineare di cui ne riporto il testo:
$ A={{0,2,2},{2,3,-1},{2,-1,-1}} $
Determinare gli indici di positività, ..; Sia $ ga $ il prodotto scalare definito da $ ga(X,Y)=(tX)AY $; determinare una base ga-ortogonale e, se esiste, una base ga-ortonormale.
A questo punto comincio determinando il polinomio caratteristico e quindi gli autovalori della matrice A che sono $ {4,-6^(1/2),6^(1/2)} $.
Di questi mi calcolo gli autovettori che sono rispettivamente: $ {1,2,0} $, $ {(-2/5)[1+6^(1/2)],(1/5)[1+6^(1/2)],1} $, $ {(2/5)[-1+6^(1/2)],(1/5)[1-6^(1/2)],1} $.
Ora credo che la base ortonormale sia composta dagli autovettori trasposti ciascuno diviso per la propria norma.
Ma anche se questo fosse vero non ricordo come calcolare la base ortogonale.
Ho un pò di confusione..
Se qualcuno potesse indicarmi anche a grandi linee i passaggi da svolgere una volta determinati gli autovalori e i rispettivi autovettori per calcolare le basi ortogonali e ortonormali della matrice di partenza.
Grazie per l'attenzione e scusate il disturbo
Risposte
In generale, se A è una matrice simmetrica:
a) tutti gli autovalori sono reali;
b) autovettori relativi ad autovalori distinti sono ortogonali.
Se quindi una matrice simmetrica ha autovalori tutti distinti, per trovare una base di vettori ortonormali basta normalizzare gli autovettori.
Nel tuo caso $ ( (1,2,0) , (-2/5^(1/2), 1/5^(1/2),1) , (2/5^(1/2) , -1/5^(1/2), 1) ) $ (fai la trasposta di questa che ho sbagliato a scrivere ) da qui notiamo che v1 è ortogonale a v2 e v3 dato che il loro prodotto scalare è 0 , mentre v2 e v3 non lo sono , quindi devi fare Gramsh smith per ortogonalizzare quei 2 vettori....cosi trovi la tua base ortogonale
a) tutti gli autovalori sono reali;
b) autovettori relativi ad autovalori distinti sono ortogonali.
Se quindi una matrice simmetrica ha autovalori tutti distinti, per trovare una base di vettori ortonormali basta normalizzare gli autovettori.
Nel tuo caso $ ( (1,2,0) , (-2/5^(1/2), 1/5^(1/2),1) , (2/5^(1/2) , -1/5^(1/2), 1) ) $ (fai la trasposta di questa che ho sbagliato a scrivere ) da qui notiamo che v1 è ortogonale a v2 e v3 dato che il loro prodotto scalare è 0 , mentre v2 e v3 non lo sono , quindi devi fare Gramsh smith per ortogonalizzare quei 2 vettori....cosi trovi la tua base ortogonale
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