Basi ortogonali

[glorietta2]

f((x1 x2 x3),(y1 y2 y3))= 2 x1 y1 - x1 y2 - x2 y1 + 7/2 x1 y3+ 7/2 x3 y1 - 1/2 x2 y3 - 1/2 x3y2
1. Stabilire se f `e un prodotto scalare euclideo e determinare la matrice che rappresenta
f rispetto alla base canonica di R3;
2. determinare una base di R3 ortogonale rispetto a f.

Questo è un pezzo di tema d'esame. Allora il primo punto credo di averlo fatto giusto perchè ho scritto la matrice rispetto alla basa canonica di R(3) ovvero
[(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)] inoltre senz'altro la forma bilineare è simmetrica perchè lo si verifica facilmente dalla matrice e poi ho verificato che è definita positiva calcolando gli autovali tramite il polinomio caratteristico e verificando che siano tutti positivi. Quello che non riesco proprio a capire è come impostare il secondo punto!!!Dato che non è un prodotto scalare euclideo il teorema di Gram- Smidt non si può utilizzare. Sapete aiutarmi???[/url]

[vict85]

"glorietta":$f((x_1\ x_2\ x_3);(y1\ y2\ y3))= 2 x_1 y_1 - x_1 y_2 - x_2 y_1 + 7/2 x_1 y_3+ 7/2 x_3 y_1 - 1/2 x_2 y_3 - 1/2 x_3y_2$
1. Stabilire se $f$ è un prodotto scalare euclideo e determinare la matrice che rappresenta $f$ rispetto alla base canonica di $R^3$;
2. determinare una base di $R^3$ ortogonale rispetto a $f$.

Questo è un pezzo di tema d'esame. Allora il primo punto credo di averlo fatto giusto perchè ho scritto la matrice rispetto alla basa canonica di $R^3$ ovvero
$(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)$ inoltre senz'altro la forma bilineare è simmetrica perchè lo si verifica facilmente dalla matrice e poi ho verificato che è definita positiva calcolando gli autovalori tramite il polinomio caratteristico e verificando che siano tutti positivi. Quello che non riesco proprio a capire è come impostare il secondo punto!!!Dato che non è un prodotto scalare euclideo il teorema di Gram- Smidt non si può utilizzare. Sapete aiutarmi???

1. A occhio è giusto...
2. Se la matrice rispetto ad una base è diagonale allora la base è ortogonale...

es.:
$(1,0,0)((a,0,0),(0,b,0),(0,0,c))((0),(1),(0)) = ((a,0,0),(0,0,0),(0,0,0))((0),(1),(0)) = 0$

Ovviamente con $(1,0,0)$ non intendo la base canonica ma la "matrice" relativa a quella base del primo vettore della base... In particolare quello è un autovettore relativo all'autovalore $a$.

[Alexp1]

"glorietta", come moderatore di questo forum, non posso non segnalarti che le formule vanno scritte nel modo corretto...sei, perciò, pregata di correggere!

Grazie

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