Basi ortogonali
Buongiorno! Non riuscivo a svolgere questo esercizio, ossia determinare $ W^(\perp) $ e trovare una base ortogonale per $ W^(\perp) $ e una base ortogonale per $ W $ rispetto al prodotto scalare standard in $ RR^ (4) $, dato il sottospazio vettoriale W contenuto in $ RR^ (4) $
$ W=span {(1,-1,0,1) , (2,-1,0,1) , (1,1,1,0)} $
Sul libro mi da questa definizione: " Se $ S $ è un sottoinsieme di $ W $, denotiamo con $ S^ (\perp) $ l insieme di tutti gli elementi $ w $ appartenenti a $ V $ che risultino perpendicolari ad ogni elemento di $ S $ , cioè il prodotto scalare tra $ v $ e $ w $ è 0 per ogni $ v $ appartenente a $ S $ "
Non riesco a collegare questa definizione con gli esercizi non avendone fatto mai nessuno.
$ W=span {(1,-1,0,1) , (2,-1,0,1) , (1,1,1,0)} $
Sul libro mi da questa definizione: " Se $ S $ è un sottoinsieme di $ W $, denotiamo con $ S^ (\perp) $ l insieme di tutti gli elementi $ w $ appartenenti a $ V $ che risultino perpendicolari ad ogni elemento di $ S $ , cioè il prodotto scalare tra $ v $ e $ w $ è 0 per ogni $ v $ appartenente a $ S $ "
Non riesco a collegare questa definizione con gli esercizi non avendone fatto mai nessuno.
Risposte
Tanto per incominciare potevi cercare una base ortonormale per \(\displaystyle W \).
Cerco invece di determinare \(\displaystyle W^{\perp} \).
Sia \(\displaystyle \mathbf{x} = (x_1, x_2,x_3, x_4)\in W^{\perp} \) allora \(\displaystyle \langle \mathbf{x}, \alpha \mathbf{v}_1 + \beta \mathbf{v}_2 + \gamma\mathbf{v}_3 \rangle = \beta\langle \mathbf{x}, \mathbf{v}_1\rangle + \beta\langle \mathbf{x},\mathbf{v}_2\rangle + \gamma\langle \mathbf{x},\mathbf{v}_3 \rangle = 0 \) per ogni \(\displaystyle \alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R} \) dove ho segnato con \(\displaystyle \mathbb{v}_i \) i vettori che definiscono \(\displaystyle W \) e con \(\displaystyle \langle\bullet,\bullet\rangle \) il prodotto scalare standard.
Questo significa che:
\(\displaystyle \begin{cases} \langle \mathbf{x},\mathbf{v}_1\rangle = 0 \\ \langle \mathbf{x},\mathbf{v}_2\rangle = 0 \\ \langle \mathbf{x},\mathbf{v}_3\rangle =0 \end{cases} \longrightarrow \begin{cases} x_1 -x_2 + x_4 = 0 \\ 2x_1-x_2+x_4 = 0 \\ x_1 + x_2 + x_3 =0 \end{cases}\)
e \(\displaystyle W^{\perp} \) non è altro che il sottospazio che è soluzione di quel sistema lineare indeterminato.
Il resto prova a farlo da solo.
Cerco invece di determinare \(\displaystyle W^{\perp} \).
Sia \(\displaystyle \mathbf{x} = (x_1, x_2,x_3, x_4)\in W^{\perp} \) allora \(\displaystyle \langle \mathbf{x}, \alpha \mathbf{v}_1 + \beta \mathbf{v}_2 + \gamma\mathbf{v}_3 \rangle = \beta\langle \mathbf{x}, \mathbf{v}_1\rangle + \beta\langle \mathbf{x},\mathbf{v}_2\rangle + \gamma\langle \mathbf{x},\mathbf{v}_3 \rangle = 0 \) per ogni \(\displaystyle \alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R} \) dove ho segnato con \(\displaystyle \mathbb{v}_i \) i vettori che definiscono \(\displaystyle W \) e con \(\displaystyle \langle\bullet,\bullet\rangle \) il prodotto scalare standard.
Questo significa che:
\(\displaystyle \begin{cases} \langle \mathbf{x},\mathbf{v}_1\rangle = 0 \\ \langle \mathbf{x},\mathbf{v}_2\rangle = 0 \\ \langle \mathbf{x},\mathbf{v}_3\rangle =0 \end{cases} \longrightarrow \begin{cases} x_1 -x_2 + x_4 = 0 \\ 2x_1-x_2+x_4 = 0 \\ x_1 + x_2 + x_3 =0 \end{cases}\)
e \(\displaystyle W^{\perp} \) non è altro che il sottospazio che è soluzione di quel sistema lineare indeterminato.
Il resto prova a farlo da solo.
Grazie per la risposta!
Si poteva anche procedere con una base ortonormale?
$ A =(1,-1,0,1) $
$ B'= B - 4/3 (1,-1,0,1) = (2/3 , 1/3 , 0 , -1/3) $
$ C'= C- 0 - 9/4 (2/3 , 1/3 , 0 , -1/3) = (-1/2 , 1/4 , 1 , 3/4) $
Poi
$( A/||A||) = 3^(-1/2) • (1,-1,0,1) $
$( (B')/||B'|| )= 3/2 • (2/3 , 1/3 , 0 , -1/3) = (1 , 1/2 , 0 , -1/2) $
$( (C')/||C'||) =(22/16) ^ (1/2) • (-1/2 , 1/4 , 1 , 3/4) $
Dopo aver trovato la base ortogonale come bisogna procedere?
Si poteva anche procedere con una base ortonormale?
$ A =(1,-1,0,1) $
$ B'= B - 4/3 (1,-1,0,1) = (2/3 , 1/3 , 0 , -1/3) $
$ C'= C- 0 - 9/4 (2/3 , 1/3 , 0 , -1/3) = (-1/2 , 1/4 , 1 , 3/4) $
Poi
$( A/||A||) = 3^(-1/2) • (1,-1,0,1) $
$( (B')/||B'|| )= 3/2 • (2/3 , 1/3 , 0 , -1/3) = (1 , 1/2 , 0 , -1/2) $
$( (C')/||C'||) =(22/16) ^ (1/2) • (-1/2 , 1/4 , 1 , 3/4) $
Dopo aver trovato la base ortogonale come bisogna procedere?
Mentre facendo quel sistema mi viene fuori
$ [ [x_2 = x_4] , [x_2 = -x_3] ] $
Quindi $ W^⊥ = [0 , 1 , -1 , 1] $
$ [ [x_2 = x_4] , [x_2 = -x_3] ] $
Quindi $ W^⊥ = [0 , 1 , -1 , 1] $
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