Basi in spazi topologici

[Silente]

Mi sto avvicinando ora alla lettura di cosa sia uno spazio topologico. La definizione mi è chiara, mentre ciò su cui mi piacerebbe ricevere un chiarimento è la seguente ulteriore definizione:

A base of the topological space \(\displaystyle (X,\tau) \) is a family \(\displaystyle \mathcal{B} \) of open subsets of \(\displaystyle X \) such that every open set \(\displaystyle G\in\tau \) is the union of some collection of elements of the family \(\displaystyle \mathcal{B} \).

Una 'base' definita in questo modo, è intimamente legata alla definizione di 'base' sotto riportata, oppure no?

\(\displaystyle \mathcal{B} \) è una base in un insieme $X$ se per definizione \(\displaystyle \mathcal{B} \) è una famiglia di sottoinsiemi di $X$ tale che:
1. \(\displaystyle \forall B\in\mathcal{B} (B\neq \emptyset) \);
2. \(\displaystyle \forall B_1,B_2\in\mathcal{B} \exists B\in\mathcal{B} \) tale che \(\displaystyle B\subseteq B_1\cap B_2 \).

Quest'ultima è la definizione che ho utilizzato quando ho studiato i limiti di funzioni, la continuità, l'integrazione...

Se sono legate, purtroppo, non riesco bene a vederlo.

[vict85]

Che libro stai usando?

[Silente]

Questo.

[vict85]

Per lo studio di topologia e spazi metrici esistono libri più indicati di un libro di analisi.

[Silente]

No ma io stavo semplicemente leggendo il libro per intero, seguendolo rigorosamente. Non l'ho preso con l'intenzione di studiare nello specifico questi spazi, ma con l'intenzione di saperne qualcosa in più di analisi.

[vict85]

Capito, comunque gli errori capitano anche nei libri migliori. Guardando l'indice, non sembra che siano però più che poche pagine quelle dedicate alla topologia (tra l'altro nel secondo volume). Esistono libri di analisi che ne dedicano più pagine, ma forse sono più avanzati.