Basi in sottospazio delle matrici quadrate di ordine 2

[BRN1]

Ciao a tutti, premetto che questo tipo di esercizi in generale riesco a risolverli senza problemi, ma quando si tirano in ballo i sootospazi di matrici, allora mi ci perdo.

Esercizio:
Si considerino i seguenti sottospazi dello spazio $ M_2(RR) $ delle matrici quadrate di ordine 2 a coefficienti reali:

$ V= span{ ( ( 1 , 1 ),( 0 , 2 ) ),( ( 1 , 0 ),( 2 , 1 ) ) , ( ( 0 , 1 ),( -4 , 1 ) )} $ e $ W= { A in M_2(RR)|Tr(A)=0 } $

Si determini una base di V, di W e di $ V nn W $ .

Ho provato a svolgerlo in questo modo:
Cerco una base di V

$ V=( ( 1 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 1 ),( 0 , 2 , -4 ),( 2 , 1 , 1 ) )rArr $ riduco con Gauss $ rArr ( ( 1 , 1 , 0 ),( 0 , -1 , 1 ),( 0 , 0 , -3 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $

Le tre matrici sono lin. indip. e quindi ho che $ B_v = { ( ( 1 , 1 ),( 0 , 2 ) ),( ( 1 , 0 ),( 2 , 1 ) ) , ( ( 0 , 1 ),( -4 , 1 ) )} $

Cerco una base di W:

Da $ W= { A in M_2(RR)|Tr(A)=0 } $ con $ A=( ( a , b ),( c , d ) ) rArr $ $ { ( a+d=0 ),( b=t_1 ),( c=t_2 ),( d= t_3 ):} rArr $

$ ( ( a ),( b ),( c ),( d ) ) = t_1 ( ( 0 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ) )+t_2 ( ( 0 ),( 0 ),(1 ),( 0 ) )+t_3 ( ( -1 ),( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) $

Quindi la base di $W $ è $ B_W = { ( ( -1 , 0 ),( 0 ,1 ) ),( (0 , 1 ),( 0 , 0 ) ) , ( ( 0 , 0 ),(1 , 0 ) )} $

Ora cerco una base di $ V nn W $:

$ a_1 ( ( 1 ),( 1 ),( 0 ),( 2 ) )+a_2 ( ( 1 ),( 0 ),( 2 ),( 1 ) )+a_3 ( ( 0 ),( 1 ),( -4 ),( 1 ) )+ b_1 ( ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( -1 ) )+b_2 ( ( 0 ),( -1 ),( 0 ),( 0 ) )+b_3 ( ( 0 ),( 0 ),( -1 ),( 0 ) )=0 $

Metto a sistema e risolvo ottenendo:

$ ( ( a_1 ),( a_2 ),( a_3 ),( b_1 ),( b_2 ),( b_3 ) )= t( ( 5/2 ),( -3 ),(-3/2 ),( 1/2 ),( 1 ),( 0 ) )+ s ( ( -1 ),( -1 ),( -1 ),( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) $

pongo $ t=1 $ e $ s=0$

$ 5/2( ( 1 ),( 1 ),( 0 ),( 2 ) )-3( ( 1 ),( 0 ),( 2 ),(1 ) )-3/2( ( 0 ),( 1 ),( -4 ),( 1 ) )=( ( -1/2 ),( 1 ),( 0 ),( 1/2 ) ) $

pongo $ t=0 $ e $ s=1 $

$ ( ( -1 ),( -1 ),( 0 ),( -2 ) )-( ( 1 ),( 0 ),( 2 ),(1 ) )-( ( 0 ),( 1 ),( -4 ),( 1 ) )=( ( -2 ),( -2 ),( 2 ),( -4 ) ) $

Quindi una base di $ V nn W $ è $ B_(V nn W) = { ( ( -1/2 , 1 ),( 0 ,1/2 ) ),( (-2 ,-2 ),( 2 , -4 ) ) } $

E' sensato quello che ho fatto???

Grazie a chi mi risponde.

.BRN

[bugman]

Tutto ok!

[BRN1]

WOW! Grazie!

.BRN