Basi imgf e isomorfismo

[d@ni89-votailprof]

Ho un problema....vi spiego la situazione:
Il problema dice questo:
Sia f:R4--->R4 l'endomorfismo definito dalle relazioni:
f(1,1,1,0)=(-1,-1,-1,0)
f(0,0,0,1)=(2,2,2,1)
f(1,0,1,1)=(-1,0,2,1)
f(0,1,1,0)=(0,h,h,0)
Studiare l'applicazione lineare f, al variare di h, determinando in ciascun caso Imf e Kerf

Allora io faccio così: calcolo il determinante della matrice associata all'endomorfismo M(f) e viene |M(f)|=-2h. Quindi sappiamo che ci sono due casi: h=0, h diverso da 0. Ora guardando le soluzioni vedo che per h diverso da 0 f è un isomorfismo. Invece per h=0 mi calcolo la matrice sostituendo 0 ad h e so trovare dimImgf, dimKerf e Kerf......ma non so davvero come trovare le basi dell'Imgf....
Quindi vorrei sapere:
1) Come si riconosce che f è un isomorfismo
2) Come si calcolano le basi dell'imgf (con qualche esempio e con una spiegazione chiara possibilmente)

Grazie mille per il vostro aiuto....scusate se ho scritto tutte queste cose, ma dopodomani ho l'esame e mi sono rimaste queste due cose come dubbio e sono tesissimo.....grazie ancora

[f4st1]

ciao
Isomorfismo è quando l'applicazione è biunivoca(iniettiva che suriettiva)
- iniettiva: quando $Ker(f)=0$
-suriettiva: $Im(f)$ è tutto il codominio

sai che i vettori-immagini di una base del dominio ti generano Im(f)
potresti ridurre la matrice $A$ associata e vedere dimensione dell'immagine a seconda del parametro h
e scrivere la base dell'immagine prendendo il massimo numero di vettori linearmente indipendenti nelle colonne di $A$ (che dipenderà dal valore di h)
ciao

[franced]

"scadany89":Ho un problema....vi spiego la situazione:
Il problema dice questo:
Sia f:R4--->R4 l'endomorfismo definito dalle relazioni:
f(1,1,1,0)=(-1,-1,-1,0)
f(0,0,0,1)=(2,2,2,1)
f(1,0,1,1)=(-1,0,2,1)
f(0,1,1,0)=(0,h,h,0)
Studiare l'applicazione lineare f, al variare di h, determinando in ciascun caso Imf e Kerf

Io per prima cosa guarderei le immagini dei vettori della base canonica:

$f ((1),(0),(0),(0)) = f ((1),(1),(1),(0)) - f ((0),(1),(1),(0)) = ...$ (fai il calcolo)

$f ((0),(0),(1),(0)) = f ((1),(0),(1),(1)) - f ((1),(0),(0),(0)) - f ((0),(0),(0),(1)) = ...$ (fai il calcolo)

$f ((0),(1),(0),(0)) = f ((0),(1),(1),(0)) - f ((0),(0),(1),(0)) = ...$ (fai il calcolo)

$f ((0),(0),(0),(1)) = ...$ (niente calcoli!!)