Basi (help)
Si determini una base del sottospazio V di R^5 costituito dai vettori (x1,.....,x5) che sono soluzioni del seguente sistema di equazioni lineari
x1-3x2+x4=0
x2+3x3-x5=0
x1+2x2+x3-x4=0
con x1,......,x5 si intendono vettori nel senso elementi che appartengono al sottospazio
oppure nel senso vettori come per esempio x1=(k1,k2,k3....kn) ovvero dotati di n elmenti giusto?
la soluzione proposta mi suggerisce di esprimere x1,x5 ed x4 in funzione di x2 ed x3
e tramite questo ragionamento mi dice che la dimensione del sottospazio vettoriaè 2. E fin qua mi torna.
Mi dice inoltre che per trovare gli elementi di questa base basta trovare due vettori linearmente indipendenti.
Il mio dubbio sorge qua. Ma se io dico che x2 ed x3 sono la base non va bene?
e perchè devo ricavare dei vettori? la soluzione infatti mi propone due vettori, con 5 elementi ognuno, ( il primo come (1/2,1,0,5/2,1) mentre il secondo come (-1/2,0,1,1/2,3)) ottenuti attribuendo dei valori a piacere ad x2 ed x3 (valori linearmente indipendenti ovviamente). Questi vettori trovati devono essere soluzione del sistema.
Avrete sicuramente capito che ho le idee confuse,molto.
Spero che qualcuno abbia la pazienza di spiegarmi questo esercizio
x1-3x2+x4=0
x2+3x3-x5=0
x1+2x2+x3-x4=0
con x1,......,x5 si intendono vettori nel senso elementi che appartengono al sottospazio
oppure nel senso vettori come per esempio x1=(k1,k2,k3....kn) ovvero dotati di n elmenti giusto?
la soluzione proposta mi suggerisce di esprimere x1,x5 ed x4 in funzione di x2 ed x3
e tramite questo ragionamento mi dice che la dimensione del sottospazio vettoriaè 2. E fin qua mi torna.
Mi dice inoltre che per trovare gli elementi di questa base basta trovare due vettori linearmente indipendenti.
Il mio dubbio sorge qua. Ma se io dico che x2 ed x3 sono la base non va bene?
e perchè devo ricavare dei vettori? la soluzione infatti mi propone due vettori, con 5 elementi ognuno, ( il primo come (1/2,1,0,5/2,1) mentre il secondo come (-1/2,0,1,1/2,3)) ottenuti attribuendo dei valori a piacere ad x2 ed x3 (valori linearmente indipendenti ovviamente). Questi vettori trovati devono essere soluzione del sistema.
Avrete sicuramente capito che ho le idee confuse,molto.
Spero che qualcuno abbia la pazienza di spiegarmi questo esercizio
Risposte
"Pablo1986":
con x1,......,x5 si intendono vettori nel senso elementi che appartengono al sottospazio
non nel senso di vettori come per esempio x1=(k1,k2,k3....kn) ovvero dotati di n elmenti giusto?
non ho capito bene ma $(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)$ è un vettore
mentre $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ sono gli elementi dell'n-upla
per il resto devi risolvere il sistema
"Pablo1986":
Ma se io dico che x2 ed x3 sono la base non va bene?
non va bene, $x_2, x_3$ non sono vettori
a quanto ho capito hai già risolto il sistema che come dici tu ha $oo^2$ soluzioni
io non l'ho risolto ma credo che quelle siano due soluzioni particolari che ovviamente risolvono il sistema
ma cosa intendi per valori linearmente indipendenti ?
"n.icola":
[quote="Pablo1986"]con x1,......,x5 si intendono vettori nel senso elementi che appartengono al sottospazio
non nel senso di vettori come per esempio x1=(k1,k2,k3....kn) ovvero dotati di n elmenti giusto?
non ho capito bene ma $(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)$ è un vettore
mentre $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ sono gli elementi dell'n-upla
per il resto devi risolvere il sistema[/quote]
quindi tu dici che i vettori costituenti questo sottospazio sono del tipo (per essempio sia vi un vettore di questo sottospazio)
v1=(x1,x2,x3,x4,x5)
giusto?
"n.icola":
[quote="Pablo1986"]Ma se io dico che x2 ed x3 sono la base non va bene?
non va bene, $x_2, x_3$ non sono vettori
a quanto ho capito hai già risolto il sistema che come dici tu ha $oo^2$ soluzioni
io non l'ho risolto ma credo che quelle siano due soluzioni particolari che ovviamente risolvono il sistema
ma cosa intendi per valori linearmente indipendenti ?[/quote]
ok ora torna. nulla praticamente i miei dubbi erano incentrati sulla compresione della traccia
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