Basi e spazio vettoriale

[asromavale1]

so per definizione che n vettori di uno spazio vetoriale $ V $ : $ vec(e1),vec(e2),...,vec(en $ costituiscono una base se sono linearmente indipendenti e ogni altro vettore di $ V $ può scriversi come combinazione lineare di questi.Ora il mio dubbio era se posso affermare che una combinazione lineare dei vettori della base corrisponde sempre ad un vettore di $ V $ .Cioè se ho $ vec(e1),vec(e2),...,vec(en $ linearmente indipendenti, posso affermare che ogni vettore $ vec(v)=sumaivec(ei $ appartiene allo spazio $ V $ oppure ci sono combinazioni lineari dei vettori $ vec(e1),vec(e2),...,vec(en $ che non costituiscono vettori di $ V $ ?

[minomic]

Ciao,
con una combinazione lineare dei vettori di una base ottieni tutti e soli i vettori dello spazio vettoriale. Quindi ogni combinazione corrisponde a un vettore e ogni vettore corrisponde a una combinazione.

[asromavale1]

ma è una cosa che si dimostra o una definizione?

[minomic]

Lo puoi anche dimostrare... se i vettori sono linearmente indipendenti (ed è così perché formano una base), allora affiancandoli ottieni una matrice $A$ di rango massimo. Di conseguenza, per il teorema di Rouchè-Capelli, il sistema
\[
Ax = b
\] dove $x$ è il vettore dei coefficienti della combinazione e $b$ il vettore che vuoi ottenere, ammette soluzione unica. Quindi è unico il vettore $x$ dei coefficienti della combinazione lineare.