Basi e spazi vettoriali
io so che un insieme di vettori è una base in Rn se i suoi vettori sono lin ind e se questi generano Rn.
quello che mi chiedo io è...come faccio a dimostrare che generano Rn??
qualcuno mi sa aiutare
per esempio ho uesto esercizio
ho un insieme V[(x1,x2,x3) € R3 : x1+x2+x3 = 0 ]
e ho dimostrato che questo è un sottospazio vettoriale di R3.
nella seconda parte mi dice :
dato S=[(1, -1 , 0 ) ; ( 0,1,-1)], mi dice di dimostrare che questo è una base di V
come posso fare?
quello che mi chiedo io è...come faccio a dimostrare che generano Rn??
qualcuno mi sa aiutare
per esempio ho uesto esercizio
ho un insieme V[(x1,x2,x3) € R3 : x1+x2+x3 = 0 ]
e ho dimostrato che questo è un sottospazio vettoriale di R3.
nella seconda parte mi dice :
dato S=[(1, -1 , 0 ) ; ( 0,1,-1)], mi dice di dimostrare che questo è una base di V
come posso fare?
Risposte
La domanda interessa anche me, e mi associo se posso, chiedendo anche come è possibile che per esempio i vettori (1,0) e (1,1) generino tutto R^2. (l'ha detto il mio prof)
Cioè quello che non capisco è come facciano ad esistere tanti vettori che generano uno spazio. Non riesco a vederne altri a parte quelli della base canonica, cioè e1=(1,0) ed e2=(0,1). Qualcuno mi sà fare un esempio di 2 vettori che generano R^2? Intendo proprio un esempio numerico.
Grazie!
Cioè quello che non capisco è come facciano ad esistere tanti vettori che generano uno spazio. Non riesco a vederne altri a parte quelli della base canonica, cioè e1=(1,0) ed e2=(0,1). Qualcuno mi sà fare un esempio di 2 vettori che generano R^2? Intendo proprio un esempio numerico.
Grazie!
$\{(1,2), (2,4)\}$ in base a questo ti fai
$\{ (x_1 + 2x_2 = a), (2x_1+4x_2=b) :}$
e vedi che i due generano $RR^2$
Almeno cosi mi pare si faccia
$\{ (x_1 + 2x_2 = a), (2x_1+4x_2=b) :}$
e vedi che i due generano $RR^2$
Almeno cosi mi pare si faccia
"Luc@s":
$\{(1,2), (2,4)\}$ in base a questo ti fai
$\{ (x_1 + 2x_2 = a), (2x_1+4x_2=b) :}$
e vedi che i due generano $RR^2$
Almeno cosi mi pare si faccia
scusami ma io non riesco a seguirti..
potresti risolvere l'esercizio che ho scritto all'inizio..perchè non riesco proprio a capire come partire
"prapa":
dato S=[(1, -1 , 0 ) ; ( 0,1,-1)], mi dice di dimostrare che questo è una base di V
come posso fare?
Sicuro non manchi un vettore in $S$?
Cmq... per essere l.i non deve contenere lo zero e non devono essere multipli l'uno dell'altro
per il generare...mm .. $\alpha(1, -1 , 0 ) + \beta(0,1,-1) =(\alpha, -\alpha+\beta,-\beta) $ con $\alpha,\beta \in RR$ e quindi hai che $x_1=\alpha ,x_2=x_1+\beta,x_3=-x_2$ quindi a sistema
$\{ (x_1=l), (x_2=l+m),(x_3=-(l+m)) :}$ al variare di $l,m \in R$
Ma oltretutto (1,2) e (2,4) non sono multipli? Per generare non devono anche essere indipendenti? Se sono multipli non sono indipendenti perchè altrimenti se moltiplico il primo per -2 e lo sommo al secondo moltiplicato per 1 ottengo comunque 0, per 2 valori k1 e k2 diversi da 0. Quindi quelli che hai scritto sono vettori dipendenti. A me pare di aver capito così. Perchè ti danno 0 partendo da una combinazione lineare non nulla.
Quello che non mi torna invece è per esempio come faccio a generare in R^2 il vettore (0,1) partendo dalla base (1,0) e (1,1) ??? qual'è la combinazione lineare che mi genera questo vettore? Non la capisco proprio.. Spero qualcuno possa spiegarmi questo fatto qua perchè nessuno me l'ha saputo spiegare fin'ora... E scusa prapa se ho invaso il tuo post, ma la domanda è abbastanza pertinente e non volevo aprire un post apposta.
Quello che non mi torna invece è per esempio come faccio a generare in R^2 il vettore (0,1) partendo dalla base (1,0) e (1,1) ??? qual'è la combinazione lineare che mi genera questo vettore? Non la capisco proprio.. Spero qualcuno possa spiegarmi questo fatto qua perchè nessuno me l'ha saputo spiegare fin'ora... E scusa prapa se ho invaso il tuo post, ma la domanda è abbastanza pertinente e non volevo aprire un post apposta.
"John_Nash":
Quello che non mi torna invece è per esempio come faccio a generare in R^2 il vettore (0,1) partendo dalla base (1,0) e (1,1) ??? qual'è la combinazione lineare che mi genera questo vettore? Non la capisco proprio..
Semplicemente $(0,1) = 1(1,1) - 1(1,0)$ con $x_1 =1,x_2=-1$
Più in generale ti fai un sistema lineare omogeneo* per trovarti i coefficienti della combo
* in questo caso era $\{ (x_1 + x_2 = 0), (x_1 = 1) :}$ che se noti ha come soluzione $(1,-1)$
"John_Nash":
Ma oltretutto (1,2) e (2,4) non sono multipli? Per generare non devono anche essere indipendenti? Se sono multipli non sono indipendenti perchè altrimenti se moltiplico il primo per -2 e lo sommo al secondo moltiplicato per 1 ottengo comunque 0, per 2 valori k1 e k2 diversi da 0. Quindi quelli che hai scritto sono vettori dipendenti. A me pare di aver capito così. Perchè ti danno 0 partendo da una combinazione lineare non nulla.
Quello che non mi torna invece è per esempio come faccio a generare in R^2 il vettore (0,1) partendo dalla base (1,0) e (1,1) ??? qual'è la combinazione lineare che mi genera questo vettore? Non la capisco proprio.. Spero qualcuno possa spiegarmi questo fatto qua perchè nessuno me l'ha saputo spiegare fin'ora... E scusa prapa se ho invaso il tuo post, ma la domanda è abbastanza pertinente e non volevo aprire un post apposta.
figurati..spero che qualcuno ti sappia rispondere
io non riesco a darti una mano..sono proprio in alto mare con questa algebra lineare
"Luc@s":
[quote="prapa"]
dato S=[(1, -1 , 0 ) ; ( 0,1,-1)], mi dice di dimostrare che questo è una base di V
come posso fare?
Sicuro non manchi un vettore in $S$?[/quote]
Perchè scusa manca un vettore in S? Guarda che V è sottospazio vettoriale di $RR^3$ che ha dimensione uguale a 2, quindi 2 devono essere i vettori di S, perchè se ne fossero 3, S non sarebbe più una base di V, ma di $RR^3$
avevo quotato la parte che mi serviva dimenticandomi che era sottospazio...scusate...
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