Basi e sottospazio complementare
dato un sottospazio $S=((x1,x2,x3)|x1+x2-2x3=0)$ come faccio a trovare delle basi? in teoria non dovrebbero essere costituiti da 3 vettori poichè siamo in r3?
inoltre volevo chiedervi cos'è di preciso un sottospazio complementare? se dovessi trovare un sottospazio di s? che dimensione ha?
vi ringrazio in anticipo
inoltre volevo chiedervi cos'è di preciso un sottospazio complementare? se dovessi trovare un sottospazio di s? che dimensione ha?
vi ringrazio in anticipo
Risposte
Se siamo in $RR^3 $ allora $(x_1,x_2,x_3 )in RR^3 $.
Ma $ S $ è un sottospazio di $RR^3$ e non avrà dimensione 3 , ma inferiore in quanto $x_1,x_2,x_3 $ non sono " liberi " ma vincolati da UNA relazione : $x_1+x_2-2x_3 =0 $.
La dimensione di $S$ è quindi $3-1=2 $.
Il generico vettore $s in S$ è rappresentato da $ s=(x_1,x_2,(x_1+x_2)/2)$ con 2 variabili " libere " $x_1,x_2 $ e quindi di dimensione 2.
Una base di $S $ sarà formata da 2 vettori linearmente indipendenti che appartengono a $S $ ovviamente.
Per costruire una base scelgo:
$x_1=1 ; x_2=0 $ per il primo vettore e
$x_1=0 ; x_2= 1 $ per il secondo vettore ottenendo :
$B_1 = (1,0,1/2);(0,1,1/2)$ oppure, le Basi sono $oo $ , moltiplico per 2 la base precedente ottenendo anche $B_2= (2,0,1)(0,2,1)) $ se non " gradisci" le frazioni.
Il sottospazio $T$ complementare di $S $ è per definizione tale che $T+S =RR^3 $ e $T nn S = O/ $.
Il sottospazio $ T $ avrà dimensione 1 .
A te trovarne uno, ce ne sono $ oo $ .
Ma $ S $ è un sottospazio di $RR^3$ e non avrà dimensione 3 , ma inferiore in quanto $x_1,x_2,x_3 $ non sono " liberi " ma vincolati da UNA relazione : $x_1+x_2-2x_3 =0 $.
La dimensione di $S$ è quindi $3-1=2 $.
Il generico vettore $s in S$ è rappresentato da $ s=(x_1,x_2,(x_1+x_2)/2)$ con 2 variabili " libere " $x_1,x_2 $ e quindi di dimensione 2.
Una base di $S $ sarà formata da 2 vettori linearmente indipendenti che appartengono a $S $ ovviamente.
Per costruire una base scelgo:
$x_1=1 ; x_2=0 $ per il primo vettore e
$x_1=0 ; x_2= 1 $ per il secondo vettore ottenendo :
$B_1 = (1,0,1/2);(0,1,1/2)$ oppure, le Basi sono $oo $ , moltiplico per 2 la base precedente ottenendo anche $B_2= (2,0,1)(0,2,1)) $ se non " gradisci" le frazioni.
Il sottospazio $T$ complementare di $S $ è per definizione tale che $T+S =RR^3 $ e $T nn S = O/ $.
Il sottospazio $ T $ avrà dimensione 1 .
A te trovarne uno, ce ne sono $ oo $ .
e se invece ho un sottospazio in forma di span es $U=span( (1,2,-1), (1,0,-1) )$ come faccio a vedere quante relazioni ci sono?
I due vettori $(1,2,-1 ),( 1,0,-1 ) $ le cui combinazioni lineari generano il sottospazio $U $ sono linearmente indipendenti e quindi$ Dim U = 2 $ . I due vettori sono oltre che generatori anche una base del sottospazio.
Se i vettori generatori di $U $ fossero stati $(1,2,-1 ), ( 3,6,-3 ) $ che sono linearmente dipendenti , sono proporzionali , avrebbero generato uno spazio di dimensione 1 .
Una base sarebbe stata qualunque vettore proporzionale a $(1,2,-1 ) $ escluso ovviamnete il vettore nullo .
Se i vettori generatori di $U $ fossero stati $(1,2,-1 ), ( 3,6,-3 ) $ che sono linearmente dipendenti , sono proporzionali , avrebbero generato uno spazio di dimensione 1 .
Una base sarebbe stata qualunque vettore proporzionale a $(1,2,-1 ) $ escluso ovviamnete il vettore nullo .
$T+S =RR^3 $ e $T nn S = O/ $
come fai a dire da subito che la dim=1?
mi puoi fare qualche sempio per capire la definizione?
come fai a dire da subito che la dim=1?
mi puoi fare qualche sempio per capire la definizione?
$T $ ed $ S $ devono essere tali che la loro somma diretta (diretta vuol dire : non devono aver alcun vettore in comune, il che è descritto dalla condizione $T nn S $ cioè la loro intersezione è vuota ) sia $RR^3 $ che ha dimensione 3 .
Ma $ S $ ha dimensione 2 , quindi $ T$ deve avere dimensione 1 di modo che le loro combinazioni lineari diano lo spazio di dimensione 3 cioè $RR ^3 $.
Ad esempio $ T $ è rappresentato da span $(0,0,1) $ in quanto questo vettore ( denominato in genere $e_3$ ) è linearmente indipendente dai vettori che sono la base di $S $.
Infatti se accosto i vettori $(2,0,1),(0,2,1),(0,0,1)$ ottenendo la matrice $[(2,0,1),(0,2,1),(0,0,1)] $ essa ha rango 3 il che vuol dire che i tre vettori sono linearmente indipendenti e generano così tutto $RR^3 $.
Spero di non averti confuso di più le idee...
Ma $ S $ ha dimensione 2 , quindi $ T$ deve avere dimensione 1 di modo che le loro combinazioni lineari diano lo spazio di dimensione 3 cioè $RR ^3 $.
Ad esempio $ T $ è rappresentato da span $(0,0,1) $ in quanto questo vettore ( denominato in genere $e_3$ ) è linearmente indipendente dai vettori che sono la base di $S $.
Infatti se accosto i vettori $(2,0,1),(0,2,1),(0,0,1)$ ottenendo la matrice $[(2,0,1),(0,2,1),(0,0,1)] $ essa ha rango 3 il che vuol dire che i tre vettori sono linearmente indipendenti e generano così tutto $RR^3 $.
Spero di non averti confuso di più le idee...
nono anzi..ti ringrazio!
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