Basi e sistemi

[cortex96]

B. Dato il sistema
x + y - z - 3w = 0
2x - y - 2z = 0
(i) studiane la compatibilita' e trovane le soluzioni.
(ii) Stabilisci se il suo spazio delle soluzioni W e' un sottospazio vettoriale di R4 in tal caso trovane la
dimensione e una base.
(iii) Scrivi una base ortonormale di W.
(iv) Scrivi una base e una base ortonormale di W trasposta?.
(v) Scrivi la matrice associata a Pw : R4 -> R4, proiezione ortogonale sul sottospazio W, rispetto a una
base a tua scelta.

dopo aver trovato che la soluzione del sistema è [(1, 0, 1, 0)z + (1, 2, 0, 1)w], come devo procedere?

[Magma1]

$i$ Un sistema lineare omigeno è sempre compatibile.

$ii$ Lo spazio delle soluzioni di un sistema lineare è uno spazio vettoriale (prova a dimostrarlo).
Inoltre hai un sistema di 4 incognite e 2 equazioni, quindi $oo^2$ soluzioni: pertanto tale sottospazio ha dimensione $2$.

$iii$ Tramite l'algoritmo di Gram-Schmidt puoi ortogonalizzare la base; e in seguito normalizzarla (se neccessario); hai così trovato un base ortonormale!

[Magma1]

$i$ Un sistema lineare omigeno è sempre compatibile.

$ii$ Lo spazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo è uno spazio vettoriale (prova a dimostrarlo).
Inoltre hai un sistema di 4 incognite e 2 equazioni, quindi $oo^2$ soluzioni: pertanto tale sottospazio ha dimensione $2$.

$iii$ Tramite l'algoritmo di Gram-Schmidt puoi ortogonalizzare la base; e in seguito normalizzarla (se neccessario); hai così trovato un base ortonormale!