Basi e proiezioni ortogonali
Posto questa domanda per cercare di risolvere alcuni miei dubbi.
Supponiamo di avere un sottospazio vettoriale di $ U<=R^3 $ dove $U =$ ad esempio $ U = <(1,2,0),(0,2,2)> $. Ora i due vettori che lo generano non sono ortogonali infatti il loro prodotto scalare e' diverso da 0. Quindi la base data non e' ortogonale. Calcolo una base ortogonale con il metodo di Gramm-Smith.
Pongo $ w_1' = v_1 = (1,2,0)$
Calcolo $ w_2' $
$ w_2' = v_2 - (v_2*w_1' )/(w_1' *w_1' ) *w_1' $
$ w_2' = (0,2,2)- ((0,2,2)*(1,2,0))/((1,2,0)(1,2,0)) *(1,2,0) = (-4/5,2/5,2)$
Ho trovato quindi una base ortogonale ovvero una base di vettori a due a due ortogonali (nel caso fossero piu' di due).
Quindi la base ortogonale e' $ U' = = <(1,2,0),(-4/5,2/5,2)>$
A questo punto e' corretto dire che il sottospazio $U$ e' uguale al sottospazio $U'$, ovvero tutti i vettori che possono essere scritti come combinazione lineare dei generatori di $U$ sono gli stessi e soli vettori che possono essere scritti come combinazione lineare dei vettori di $U'$ quindi l'unica cosa che cambia e' se i vettori della base sono ortogonali o meno tra loro?
A questo punto divido per la norma trovando cosi' una base ortonormale
$ U' = <(w_1' )/||w_1'||,(w_2') /||w_2'||>$
$ U' = <(1/sqrt(5),2/sqrt(5),0),(-4/sqrt(120),2/sqrt(120),10/sqrt(120))> $
Ovvero una base come le due superiori con la differenza che in questo caso i vettori generatori sono versori ovvero hanno norma 1.
Ora supponiamo che io debba trovare il sottospazio $ U^(_|_)$
Per fare cio' posso dire che un vettore generico $ u in R^3 : u = (x,y,z)$ appartiene a $ U^(_|_) $ se si ha:
$ { ( u * v_1 =0 ),( u * v_2 =0 ):} $
Risolvendo il sistema trovo quindi una base di $U^(_|_)$
$ { ( (x,y,z) * (1,2,0)= 0 ),( (x,y,z)* (0,2,2) =0 ):} $
$ { ( x+2y =0) ,( 2y+2z=0 ):} $
$ { ( x = -2y) ,( z=-y ):} $
quindi un elemento generico $ (x,y,z) = (-2y,y,-y) = y(-2,1,-1)$
Quindi $ U^(_|_) = <(-2,1-1)>$
Quindi $ U^(_|_)$ e' il sottospazio che mi genera tutti i vettori che sono ortogonali ai vettori generati da $ U$, inoltre si ha che $ U o+ U^(_|_) $ nel nostro caso $ U o+ U^(_|_) = R^3 $
Dal punto di vista grafico si ha:
[jxg]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[/jxg]
Dove ho supposto che $U $ generi un piano, quindi i vettori di $U$ e $U'$ ortogonale e ortonormale sono tutti i vettori del piano, mentre i vettori di $U^(_|_)$ sono tutti i vettori ortogonali al piano ovvero tutti i vettori come $ P_(U^(_|_))(v)$ nella figura.
Ora supponiamo di dover calcolare la proiezione di un vettore generico come il vettore $v = (x,y,z)$ della figura, si ha:
$ 1) P_U(v) = v * v_1*v_1 +v*v_2*v_2 $ dove $v_1,v_2$ sono i generatori di $U$. Analogamente posso trovare la proiezione su $U^(_|_)$, devo semplicemente usare il vettore che mi genera $U^(_|_)$. Quindi la formula per trovare la proiezione e' sempre la stessa, cio' che cambia sono i vettori su cui proietto che mi determinano quindi quale delle due proiezioni sto calcolando. Inoltre si ha $ v = P_U(v) + P_(U^(_|_))(v)$
Vorrei sapere se cio' che ho scritto e' corretto o se ci sono errori o imprecisioni. La dimostrazione della formula per calcolare la proiezione di un vettore $1)$ l'ho capita e la so fare quindi non la riporto.
Supponiamo di avere un sottospazio vettoriale di $ U<=R^3 $ dove $U =
Pongo $ w_1' = v_1 = (1,2,0)$
Calcolo $ w_2' $
$ w_2' = v_2 - (v_2*w_1' )/(w_1' *w_1' ) *w_1' $
$ w_2' = (0,2,2)- ((0,2,2)*(1,2,0))/((1,2,0)(1,2,0)) *(1,2,0) = (-4/5,2/5,2)$
Ho trovato quindi una base ortogonale ovvero una base di vettori a due a due ortogonali (nel caso fossero piu' di due).
Quindi la base ortogonale e' $ U' =
A questo punto e' corretto dire che il sottospazio $U$ e' uguale al sottospazio $U'$, ovvero tutti i vettori che possono essere scritti come combinazione lineare dei generatori di $U$ sono gli stessi e soli vettori che possono essere scritti come combinazione lineare dei vettori di $U'$ quindi l'unica cosa che cambia e' se i vettori della base sono ortogonali o meno tra loro?
A questo punto divido per la norma trovando cosi' una base ortonormale
$ U' = <(w_1' )/||w_1'||,(w_2') /||w_2'||>$
$ U' = <(1/sqrt(5),2/sqrt(5),0),(-4/sqrt(120),2/sqrt(120),10/sqrt(120))> $
Ovvero una base come le due superiori con la differenza che in questo caso i vettori generatori sono versori ovvero hanno norma 1.
Ora supponiamo che io debba trovare il sottospazio $ U^(_|_)$
Per fare cio' posso dire che un vettore generico $ u in R^3 : u = (x,y,z)$ appartiene a $ U^(_|_) $ se si ha:
$ { ( u * v_1 =0 ),( u * v_2 =0 ):} $
Risolvendo il sistema trovo quindi una base di $U^(_|_)$
$ { ( (x,y,z) * (1,2,0)= 0 ),( (x,y,z)* (0,2,2) =0 ):} $
$ { ( x+2y =0) ,( 2y+2z=0 ):} $
$ { ( x = -2y) ,( z=-y ):} $
quindi un elemento generico $ (x,y,z) = (-2y,y,-y) = y(-2,1,-1)$
Quindi $ U^(_|_) = <(-2,1-1)>$
Quindi $ U^(_|_)$ e' il sottospazio che mi genera tutti i vettori che sono ortogonali ai vettori generati da $ U$, inoltre si ha che $ U o+ U^(_|_) $ nel nostro caso $ U o+ U^(_|_) = R^3 $
Dal punto di vista grafico si ha:
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Dove ho supposto che $U $ generi un piano, quindi i vettori di $U$ e $U'$ ortogonale e ortonormale sono tutti i vettori del piano, mentre i vettori di $U^(_|_)$ sono tutti i vettori ortogonali al piano ovvero tutti i vettori come $ P_(U^(_|_))(v)$ nella figura.
Ora supponiamo di dover calcolare la proiezione di un vettore generico come il vettore $v = (x,y,z)$ della figura, si ha:
$ 1) P_U(v) = v * v_1*v_1 +v*v_2*v_2 $ dove $v_1,v_2$ sono i generatori di $U$. Analogamente posso trovare la proiezione su $U^(_|_)$, devo semplicemente usare il vettore che mi genera $U^(_|_)$. Quindi la formula per trovare la proiezione e' sempre la stessa, cio' che cambia sono i vettori su cui proietto che mi determinano quindi quale delle due proiezioni sto calcolando. Inoltre si ha $ v = P_U(v) + P_(U^(_|_))(v)$
Vorrei sapere se cio' che ho scritto e' corretto o se ci sono errori o imprecisioni. La dimostrazione della formula per calcolare la proiezione di un vettore $1)$ l'ho capita e la so fare quindi non la riporto.
Risposte
Mi sembra tutto corretto (tra l'altro puoi benissimo scrivere $U'=U''=U$ perché gli spazi restano sempre gli stessi, cambiano solo le basi). Ti faccio presente che determinare le basi ortonormali è di grande utilità al fine di calcolare le proiezioni. Infatti, supponendo di considerare $U=$ (quello generato dalle basi ortonormali), puoi determinare un vettore $u$ che generi $U^\bot$ in modo che $=0,\ =1$ cioè tale che esso risulti ortonormale con gli altri due. Fatto questo (è molto semplice, basta fare due conti), avrai che per ogni $v\in RR^3$ si può scrivere in modo unico $v=a w_1'+b w_2'+c u$, per cui, per quanto riguarda le proiezioni, si ha
$$P_U(v)=a w_1'+b w_2',\qquad P_{U^\bot}(v)=c u$$
$$P_U(v)=a w_1'+b w_2',\qquad P_{U^\bot}(v)=c u$$
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