Basi e matrici diagonali
Ciao a tutti, ho bisogno di un parere su un esercizio la cui soluzione non mi convince per niente.
Prima di tutto il mio esercizio mi chiede di trovare un omomorfismo $f: RR^3 \to RR^3$ (se vi serve il testo e la soluzione si trovano qui), la cui matrice associata che ho calcolato è:
$A = ((2,0,0),(1,sqrt(2)/2,-sqrt(2)/2),(1-sqrt(2),sqrt(2)/2,sqrt(2)/2))$
Successivamente l'esercizio mi chiede:
Stabilire se esiste una base di $RR^3$ tale che la matrice associata a f rispetto ad essa (nel dominio e nel codominio) sia in forma diagonale.
Determinare, se esiste, una retta l in $RR^3$ tale che $f(l)=l$.
Ho deciso risolvere la prima parte del problema cercando gli autovalori e gli autovettori di A, in modo da costruirmi una matrice in forma diagonale attraverso gli autovalori, mentre gli autovettori mi costituiscono una base che diagonalizza f.
Trovo quindi gli autovalori, calcolando $det(A-lambdaI_3)$ e prendendo come riferimento per la risoluzione la prima riga:
$(2-lambda) det((sqrt(2)/2-lambda, -sqrt(2)/2),(sqrt(2)/2,sqrt(2)/2-lambda)) = (2-lambda)[(sqrt(2)/2-lambda)^2+1/2] = (2-lambda)(1-sqrt(2)lambda+lambda^2)$
Per il momento so che il primo autovalore è $lambda_1=2$, gli altri autovalori li trovo risolvendo l'equazione di secondo grado:
$lambda^2-sqrt(2)lambda+1=(sqrt(2)+-sqrt(-2))/2$
Teoricamente così ho trovato che A non è diagonalizzabile su $RR$ perchè l'equazione di secondo grado mi trova un numero complesso, e quindi l'esercizio sarebbe finito qui... ma dato che l'ho preso da un esame dubito fortemente che la soluzione sia questa. Dove ho sbagliato?
La seconda parte dell'esercizio in cui devo trovare una retta l invece non ho proprio idea di dove girarmi...
Prima di tutto il mio esercizio mi chiede di trovare un omomorfismo $f: RR^3 \to RR^3$ (se vi serve il testo e la soluzione si trovano qui), la cui matrice associata che ho calcolato è:
$A = ((2,0,0),(1,sqrt(2)/2,-sqrt(2)/2),(1-sqrt(2),sqrt(2)/2,sqrt(2)/2))$
Successivamente l'esercizio mi chiede:
Stabilire se esiste una base di $RR^3$ tale che la matrice associata a f rispetto ad essa (nel dominio e nel codominio) sia in forma diagonale.
Determinare, se esiste, una retta l in $RR^3$ tale che $f(l)=l$.
Ho deciso risolvere la prima parte del problema cercando gli autovalori e gli autovettori di A, in modo da costruirmi una matrice in forma diagonale attraverso gli autovalori, mentre gli autovettori mi costituiscono una base che diagonalizza f.
Trovo quindi gli autovalori, calcolando $det(A-lambdaI_3)$ e prendendo come riferimento per la risoluzione la prima riga:
$(2-lambda) det((sqrt(2)/2-lambda, -sqrt(2)/2),(sqrt(2)/2,sqrt(2)/2-lambda)) = (2-lambda)[(sqrt(2)/2-lambda)^2+1/2] = (2-lambda)(1-sqrt(2)lambda+lambda^2)$
Per il momento so che il primo autovalore è $lambda_1=2$, gli altri autovalori li trovo risolvendo l'equazione di secondo grado:
$lambda^2-sqrt(2)lambda+1=(sqrt(2)+-sqrt(-2))/2$
Teoricamente così ho trovato che A non è diagonalizzabile su $RR$ perchè l'equazione di secondo grado mi trova un numero complesso, e quindi l'esercizio sarebbe finito qui... ma dato che l'ho preso da un esame dubito fortemente che la soluzione sia questa. Dove ho sbagliato?
La seconda parte dell'esercizio in cui devo trovare una retta l invece non ho proprio idea di dove girarmi...
Risposte
Gli autovalori della matrice $A$ sono sicuramente quelli che hai trovato tu. Per cui le cose sono due: 1) visto che la richiesta è "stabilire se esiste..." la risposta è no; 2) se proprio sei certa che debba esserci questa forma diagonale, forse è sbagliata la matrice. Ma anche a me pare che la $A$ sia corretta.
Per la seconda parte, quello che devi fare è un ragionamento abbastanza semplice: scrivi una generica retta in forma parametrica, applica ad essa la matrice $A$ e verifica quando ciò che ottieni è ancora la stessa retta (suggerimento: due rette sono la stessa se hanno lo stesso vettore direzione (parallelismo) e se passano per uno stesso punto). Se ci pensi, la cosa ha a che fare con gli autovalori, in qualche modo.
Per la seconda parte, quello che devi fare è un ragionamento abbastanza semplice: scrivi una generica retta in forma parametrica, applica ad essa la matrice $A$ e verifica quando ciò che ottieni è ancora la stessa retta (suggerimento: due rette sono la stessa se hanno lo stesso vettore direzione (parallelismo) e se passano per uno stesso punto). Se ci pensi, la cosa ha a che fare con gli autovalori, in qualche modo.
Bene, nel capire se avevo sbagliato nella mia matrice mi è sorto un nuovo dubbio. Mi spiego, io la matrice associata (rispetto alle basi canoniche del dominio e del codominio) l'ho costruita sostituendo le basi canoniche nell'omomorfismo f che avevo trovato precedentemente, e le immagini le ho quindi inserite nella matrice in questo ordine: $(f(1,0,0), f(0,1,0), f(0,0,1))$. Prima ho voluto fare un esperimento e ho cambiato l'ordine, invertendo la seconda colonna con la terza: $(f(1,0,0), f(0,0,1), f(0,1,0))$, convinta che tanto non sarebbe cambiato niente... e invece no, perchè sono riuscita a trovare degli autovalori reali senza entrare nel campo complesso. Ma teoricamente, qualunque ordine io scelga, non dovrebbe essere sempre uguale il risultato?? Ho sempre costruito le matrici nel primo ordine, però non ho mai pensato a questa possibilità.
Per quanto riguarda la retta ancora non ho capito come fare, ma ci sto lavorando
Per quanto riguarda la retta ancora non ho capito come fare, ma ci sto lavorando
Se cambi l'ordine, cambi la visualizzazione dello spazio. Considerando che puoi pensare di lavorare in $RR^3$ scambiare i versori dell'asse y e dell'asse z tra loro ti da' un sistema di riferimento che risulta trasformato rispetto a quello "destrorso" canonico, ecco perché la matrice cambia. Comunque, secondo me, hai sbagliato qualche conto, perché il risultato deve essere sempre lo stesso (per gli autovalori, intendo). Prova un po' a postare quello che hai fatto.
Sì, allora chiamo $A'$ la matrice di prima, solo con le ultime due colonne invertite:
$A' = ((2,0,0),(1,-sqrt(2)/2,sqrt(2)/2),(1-sqrt(2),sqrt(2)/2,sqrt(2)/2))$
Trovo $det(A'-lambdaI_3)$ prendendo come riferimento la prima riga:
$(2-lambda)det((-sqrt(2)/2-lambda,sqrt(2)/2),(sqrt(2)/2,sqrt(2)/2-lambda)) = (2-lambda)[(-sqrt(2)/2-lambda)(sqrt(2)/2-lambda)-1/2] = (2-lambda)(lambda^2-1) $
$ = (2-lambda)(lambda+1)(lambda-1)$
Da cui vedo subito che ho 3 autovalori: $lambda_1=2$, $lambda_2=-1$, $lambda_3=1$.
Ho riprovato a vedere se il problema sta nella matrice che ho calcolato, però a me i risultati vengono sempre gli stessi, mi sembra di averla fatta giusta. Per sicurezza comunque posto i calcoli che ho fatto per determinarla, almeno se scopro di aver sbagliato in questo punto mi posso mettere l'anima in pace.
L'omomorfismo (che mi ha aiutato a ricavare vittorino70) è questo:
$f(x,y,z) = (2x, x+sqrt(2)/2y-sqrt(2)/2z, (1-sqrt(2))x+sqrt(2)/2y+sqrt(2)/2z)$
La matrice associata rispetto alle basi canoniche del dominio e del codominio la ricavo sostituendo le basi canoniche nell'omomorfismo:
$f(1,0,0)^t = (2, 1, 1-sqrt(2))^t$
$f(0,1,0)^t = (0, sqrt(2)/2, sqrt(2)/2)^t$
$f(0,0,1)^t = (0, -sqrt(2)/2, sqrt(2)/2)^t$
L'insieme delle immagini quindi mi dà: $((2,0,0),(1,sqrt(2)/2,-sqrt(2)/2),(1-sqrt(2),sqrt(2)/2,sqrt(2)/2))$
$A' = ((2,0,0),(1,-sqrt(2)/2,sqrt(2)/2),(1-sqrt(2),sqrt(2)/2,sqrt(2)/2))$
Trovo $det(A'-lambdaI_3)$ prendendo come riferimento la prima riga:
$(2-lambda)det((-sqrt(2)/2-lambda,sqrt(2)/2),(sqrt(2)/2,sqrt(2)/2-lambda)) = (2-lambda)[(-sqrt(2)/2-lambda)(sqrt(2)/2-lambda)-1/2] = (2-lambda)(lambda^2-1) $
$ = (2-lambda)(lambda+1)(lambda-1)$
Da cui vedo subito che ho 3 autovalori: $lambda_1=2$, $lambda_2=-1$, $lambda_3=1$.
Ho riprovato a vedere se il problema sta nella matrice che ho calcolato, però a me i risultati vengono sempre gli stessi, mi sembra di averla fatta giusta. Per sicurezza comunque posto i calcoli che ho fatto per determinarla, almeno se scopro di aver sbagliato in questo punto mi posso mettere l'anima in pace.
L'omomorfismo (che mi ha aiutato a ricavare vittorino70) è questo:
$f(x,y,z) = (2x, x+sqrt(2)/2y-sqrt(2)/2z, (1-sqrt(2))x+sqrt(2)/2y+sqrt(2)/2z)$
La matrice associata rispetto alle basi canoniche del dominio e del codominio la ricavo sostituendo le basi canoniche nell'omomorfismo:
$f(1,0,0)^t = (2, 1, 1-sqrt(2))^t$
$f(0,1,0)^t = (0, sqrt(2)/2, sqrt(2)/2)^t$
$f(0,0,1)^t = (0, -sqrt(2)/2, sqrt(2)/2)^t$
L'insieme delle immagini quindi mi dà: $((2,0,0),(1,sqrt(2)/2,-sqrt(2)/2),(1-sqrt(2),sqrt(2)/2,sqrt(2)/2))$
Ecco, lo immaginavo: inverti le colonne nell'immagine. Ma se devi cambiare lordine, allora devi cambiarlo anche nel dominio! Questo vuol dire che devi mettere in successione così
$f(e_1)=a_1^1 e_1+a_1^3 e_3+a_1^2 e_2$
$f(e_3)=a_3^1 e_1+a_3^3 e_3+a_3^2 e_2$
$f(e_2)=a_2^1 e_1+a_2^3 e_3+a_2^2 e_2$
e quindi non devi scambiare solo la seconda e la terza colonna, ma anche la seconda e la terza riga.
$f(e_1)=a_1^1 e_1+a_1^3 e_3+a_1^2 e_2$
$f(e_3)=a_3^1 e_1+a_3^3 e_3+a_3^2 e_2$
$f(e_2)=a_2^1 e_1+a_2^3 e_3+a_2^2 e_2$
e quindi non devi scambiare solo la seconda e la terza colonna, ma anche la seconda e la terza riga.
Ho capito!! Grazie millissime!!! 
Quindi finalmente con il primo punto del problema ci sono, mi manca solo da trovare la retta. Dato che non l'ho mai fatto, quando troverò un'ipotetica soluzione la posterò qui
Quindi finalmente con il primo punto del problema ci sono, mi manca solo da trovare la retta. Dato che non l'ho mai fatto, quando troverò un'ipotetica soluzione la posterò qui
La retta richiesta non è null'altro che l'autospazio relativo all'unico autovalore reale \(\displaystyle \lambda=2 \). Le equazioni di tale retta sono date dal sistema :
\(\displaystyle \begin{cases} x+\left(\frac{\sqrt2}{2}-2\right)y-\frac{\sqrt2}{2}z=0 \\(1-\sqrt2)x+\frac{\sqrt2}{2}y+\left(\frac{\sqrt2}{2}-2\right)z=0 \end{cases}\)
\(\displaystyle \begin{cases} x+\left(\frac{\sqrt2}{2}-2\right)y-\frac{\sqrt2}{2}z=0 \\(1-\sqrt2)x+\frac{\sqrt2}{2}y+\left(\frac{\sqrt2}{2}-2\right)z=0 \end{cases}\)
Peeeeeeeerrrrrrrfettoooooooooooo!
Quindi per determinare questa retta mi basta applicare $(A-lambdaI_3)v=0$, risolvere il sistema e trovare l'autospazio relativo, che in questo caso è $V_(lambda=2)=<(1,1,1-2/sqrt(2))>$.
Però non ho capito, è l'autospazio che rappresenta la mia retta $l$ tale che $f(l)=l$? Perchè io ho provato ad applicare $V_2$ all'omomorfismo, ma $f(1,1,1-2/sqrt(2))=(2,2,0)$
Però non ho capito, è l'autospazio che rappresenta la mia retta $l$ tale che $f(l)=l$? Perchè io ho provato ad applicare $V_2$ all'omomorfismo, ma $f(1,1,1-2/sqrt(2))=(2,2,0)$
Lo span non è quello da te indicato ma questo:
\(\displaystyle <5-2\sqrt2,3-\sqrt2,3-2\sqrt2> \)
Esso è geometricamente rappresentato da una retta l passante (ovviamente) per l'origine degli assi e le cui
equazioni sono quelle che ho già indicato.
Se ora \(\displaystyle (a,b,c) \) è il generico vettore di l , puoi vedere che a calcoli fatti risulta :
\(\displaystyle f(a,b,c)=2(a,b,c) \)
e questo dimostra che la retta l viene trasformata in sé dall'applicazione lineare f.
\(\displaystyle <5-2\sqrt2,3-\sqrt2,3-2\sqrt2> \)
Esso è geometricamente rappresentato da una retta l passante (ovviamente) per l'origine degli assi e le cui
equazioni sono quelle che ho già indicato.
Se ora \(\displaystyle (a,b,c) \) è il generico vettore di l , puoi vedere che a calcoli fatti risulta :
\(\displaystyle f(a,b,c)=2(a,b,c) \)
e questo dimostra che la retta l viene trasformata in sé dall'applicazione lineare f.
Ops, scusa per il ritardo, ma vittorino ha già risposto per me!
Il bello è che quei calcoli li ho rifatti più volte per esserne certa, chissà cosa avrò combinato 
Comunque grazie mille ragazzi, mi avete dato un enorme aiuto! Devo assolutamente passare questo esame a novembre, quindi scusate se vi ho tartassato
Comunque grazie mille ragazzi, mi avete dato un enorme aiuto! Devo assolutamente passare questo esame a novembre, quindi scusate se vi ho tartassato
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