Basi e dimensioni di autospazi
Ho una matrice:
$((5,0,1),(0,3,0),(2,0,4))$
e mi viene chiesto di determinare:
a) gli autovalori della matrice e le loro molteplicitá algebriche;
b) equazioni degli autospazi della matrice, specificando basi e dimensioni;
c) una eventuiale matrice diagonale D che rappresenti l operatore A e la matrice diagonalizzante relativa a D;
d) le componenti di un vettore v di $R^3$ non appartenente ad alcun autospazio;
Allora io ho fatto questa elaborazione:
a) calcolo gli autovalori e le molteplicitá algebriche:
$((5-lambda,0,1),(0,3-lambda,0),(2,0,4-lambda))$
det(A)= $(5-lambda)(3-lambda)(4-lambda)-2(3-lambda) = (3-lambda)[lambda^2-4lambda+18] = 0
$lambda = 3$ m.a = 2
$lambda2 = 6$ m.a=1
b) calcolo degli autospazi:
sostituisco gli autovalori al posto di $lambda$ nella matrice precedente e poi trovo le equazioni che sono
$2x+z=0$
$y=0$
poi non so continuare, nel cercare le basi e le dimensioni degli autospazi, la matrice diagonale e la matrice diagonalizzante relativa alla matrice diagonale
$((5,0,1),(0,3,0),(2,0,4))$
e mi viene chiesto di determinare:
a) gli autovalori della matrice e le loro molteplicitá algebriche;
b) equazioni degli autospazi della matrice, specificando basi e dimensioni;
c) una eventuiale matrice diagonale D che rappresenti l operatore A e la matrice diagonalizzante relativa a D;
d) le componenti di un vettore v di $R^3$ non appartenente ad alcun autospazio;
Allora io ho fatto questa elaborazione:
a) calcolo gli autovalori e le molteplicitá algebriche:
$((5-lambda,0,1),(0,3-lambda,0),(2,0,4-lambda))$
det(A)= $(5-lambda)(3-lambda)(4-lambda)-2(3-lambda) = (3-lambda)[lambda^2-4lambda+18] = 0
$lambda = 3$ m.a = 2
$lambda2 = 6$ m.a=1
b) calcolo degli autospazi:
sostituisco gli autovalori al posto di $lambda$ nella matrice precedente e poi trovo le equazioni che sono
$2x+z=0$
$y=0$
poi non so continuare, nel cercare le basi e le dimensioni degli autospazi, la matrice diagonale e la matrice diagonalizzante relativa alla matrice diagonale
Risposte
Se i conti son giusti è giusto.
Poi quelle due equazioni io non le capisco. Un autospazio è uno spazio vettoriale, quelle sono due equazioni
scrivile meglio, perchè potrebbero essere giuste, sbagliate, o in parte giuste. Così non si capisce!
EDIT ho letto ora il tuo problema.
Anzitutto devi essere più chiaro: Cosa sono quelle equazioni, a cosa si riferiscono? A quale autovalore?
Considera che quelle sono equazioni di un autospazio, che altro non è che un'equazione di uno spazio vettoriale, non cambia nulla!
Se io di dicessi si [tex]W = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 | x=0 \}[/tex] sapresti estrarre una sua base? E la stessa cosa devi fare ora con quelle equazioni!
Quanto alla matrice diagonale $D$ essa è la matrice con sulla diagonale gli autovalori, mentre la matrice diagonalizzante è quella che ha in colonna i vettori di base dei relativi autospazi... Alla fine per verificare se tutto fila non ti base che calcolare $A=M^(-1)DM$
Poi quelle due equazioni io non le capisco. Un autospazio è uno spazio vettoriale, quelle sono due equazioni
scrivile meglio, perchè potrebbero essere giuste, sbagliate, o in parte giuste. Così non si capisce!EDIT ho letto ora il tuo problema.
Anzitutto devi essere più chiaro: Cosa sono quelle equazioni, a cosa si riferiscono? A quale autovalore?
Considera che quelle sono equazioni di un autospazio, che altro non è che un'equazione di uno spazio vettoriale, non cambia nulla!
Se io di dicessi si [tex]W = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 | x=0 \}[/tex] sapresti estrarre una sua base? E la stessa cosa devi fare ora con quelle equazioni!
Quanto alla matrice diagonale $D$ essa è la matrice con sulla diagonale gli autovalori, mentre la matrice diagonalizzante è quella che ha in colonna i vettori di base dei relativi autospazi... Alla fine per verificare se tutto fila non ti base che calcolare $A=M^(-1)DM$
quando vado a sostituire gli autovalori (6 e 3) al posto di $lambda$ nella matrice ottengo le seguenti matrici:
$((2,0,1),(0,1,0),(2,0,1))$ e $((-1,0,1),(0,-3,0),(2,0,-2))$
le equazioni sono:
$2x+z=0$
$y=0$
$2x+z=0$ per la prima matrice
$-x+z=0$
$-3y=0$
$2x-2z=0$ per la seconda matrice
se non ho sbagliato dovrebbero essere queste, poi non so procedere nel calcolare basi, dimensioni ecc ecc
$((2,0,1),(0,1,0),(2,0,1))$ e $((-1,0,1),(0,-3,0),(2,0,-2))$
le equazioni sono:
$2x+z=0$
$y=0$
$2x+z=0$ per la prima matrice
$-x+z=0$
$-3y=0$
$2x-2z=0$ per la seconda matrice
se non ho sbagliato dovrebbero essere queste, poi non so procedere nel calcolare basi, dimensioni ecc ecc
Beh quelle equazioni descrivono due autospazi
[tex]V_{\lambda_1}=\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 | y=0,z=-2x \}[/tex] cioè i vettori di questo spazio vettoriale sono della forma [tex](x,0,-2x)[/tex]. Pertanto una base sarà data da [tex](1,0,-2)[/tex].
Ora prova tu con l'altro
PS Se così fosse però l'endomorfismo non sarebbe diagonalizzabile eh... quindi la c) non avrebbe molto senso. Tutti e due gli autospazi hanno infatti dimensione $1$, cioè $f$ non sarebbe diagonalizzabile. Controlla bene calcoli e scomposizione del polinomio caratteristico.
[tex]V_{\lambda_1}=\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 | y=0,z=-2x \}[/tex] cioè i vettori di questo spazio vettoriale sono della forma [tex](x,0,-2x)[/tex]. Pertanto una base sarà data da [tex](1,0,-2)[/tex].
Ora prova tu con l'altro
PS Se così fosse però l'endomorfismo non sarebbe diagonalizzabile eh... quindi la c) non avrebbe molto senso. Tutti e due gli autospazi hanno infatti dimensione $1$, cioè $f$ non sarebbe diagonalizzabile. Controlla bene calcoli e scomposizione del polinomio caratteristico.
l altro dovrebbe essere
$V_{\lambda_2}={(x,y,z) \in \mathbb {R}^3| y=0, z=x} $
$(1,0,1)$
la matrice diagonale:
$((6,0,0),(0,3,0),(0,0,3))$
e la matrice diagonalizzante:
$((1,1,x),(0,0,y),(-2,1,z))$
la terza colonna non ho idea di come si calcoli...
ho fatto qualche progresso?
$V_{\lambda_2}={(x,y,z) \in \mathbb {R}^3| y=0, z=x} $
$(1,0,1)$
la matrice diagonale:
$((6,0,0),(0,3,0),(0,0,3))$
e la matrice diagonalizzante:
$((1,1,x),(0,0,y),(-2,1,z))$
la terza colonna non ho idea di come si calcoli...
ho fatto qualche progresso?
Sì è tutto giusto. Ma se così stanno le cose (non ho fatto i calcoli) quella colonna non esiste, semplicemente perchè tale applicazione non è diagonalizzabile.
Ho trovato l'errore!
Nel caso $lambda=3$ la condizione $y=0$ non c'è. Infatti se sostituisci $3$ nella matrice ottieni $0$ nel posto $A_(2,2)$
Nel caso $lambda=3$ la condizione $y=0$ non c'è. Infatti se sostituisci $3$ nella matrice ottieni $0$ nel posto $A_(2,2)$
Ciao a tutti, riporto in attivo questo topic perché avrei delle domande da porvi riguardo l'esercizio qui svolto:
- Per quanto riguarda la ricerca degli autovettori relativi a $\lambda_1=3$, il sistema si riduce a due equazioni a due incognite "x" e "z"
e ottengo autovalori della forma:
$v= ( ( x ),( ? ),( -2x ) ) $
ma la coordinata "y" (che nel sistema sparisce) come deve essere poi considerata? In posizione y che ci metto nel vettore?
- Sempre considerando $\lambda_1=3$, la matrice:
$ ( ( 5-3 , 0 , 1 ),( 0 , 3-3 , 0 ),( 2 , 0 , 4-1 ) ) $
ha rango=1 quindi dimensione dell'autospazio=1 e ne segue che la molteplicità algebrica è differente da quella geometrica. Stesso risultato accade se considero $\lambda_2=6$, quindi la matrice non è diagonalizzabile. Ma se ad esempio, per $\lambda_1=3$ avrei ottenuto molteplicità algebrica = molteplicità geometrica e per $\lambda_2=6$ no, è corretto dire che la matrice è diagonalizzabile solo per $\lambda_1=3$?
- Nel caso fosse diagonalizzabile, la matrice diagonalizzante avrebbe per colonne le basi trovate per gli autospazi relativi a $\lambda_1=3$ e $\lambda_2=6$, ma $\lambda_1=3$ ha molteplicità=2 e quindi nella matrice diagonalizzante quella base compare due volte? Altrimenti mi ritroverei con una matrice con solo 2 colonne...
Ringrazio chiunque riesca a chiarirmi questi dubbi.
.BRN
- Per quanto riguarda la ricerca degli autovettori relativi a $\lambda_1=3$, il sistema si riduce a due equazioni a due incognite "x" e "z"
e ottengo autovalori della forma:
$v= ( ( x ),( ? ),( -2x ) ) $
ma la coordinata "y" (che nel sistema sparisce) come deve essere poi considerata? In posizione y che ci metto nel vettore?
- Sempre considerando $\lambda_1=3$, la matrice:
$ ( ( 5-3 , 0 , 1 ),( 0 , 3-3 , 0 ),( 2 , 0 , 4-1 ) ) $
ha rango=1 quindi dimensione dell'autospazio=1 e ne segue che la molteplicità algebrica è differente da quella geometrica. Stesso risultato accade se considero $\lambda_2=6$, quindi la matrice non è diagonalizzabile. Ma se ad esempio, per $\lambda_1=3$ avrei ottenuto molteplicità algebrica = molteplicità geometrica e per $\lambda_2=6$ no, è corretto dire che la matrice è diagonalizzabile solo per $\lambda_1=3$?
- Nel caso fosse diagonalizzabile, la matrice diagonalizzante avrebbe per colonne le basi trovate per gli autospazi relativi a $\lambda_1=3$ e $\lambda_2=6$, ma $\lambda_1=3$ ha molteplicità=2 e quindi nella matrice diagonalizzante quella base compare due volte? Altrimenti mi ritroverei con una matrice con solo 2 colonne...
Ringrazio chiunque riesca a chiarirmi questi dubbi.
.BRN
Ok, per uno due miei quesiti, mi rispondo da solo:
Per definizione di matrice diagonalizzabile, per ogni autovalore si deve verificare molteplicità algebrica=molteplicità geometrica. Quindi se quest'uguaglianza non è verificata per tutti gli autovalori, la matrice risulta non diagonalizzabile.
Per gli altri due qualcuno è in grado di schiarirmi le idee??
.BRN
Per definizione di matrice diagonalizzabile, per ogni autovalore si deve verificare molteplicità algebrica=molteplicità geometrica. Quindi se quest'uguaglianza non è verificata per tutti gli autovalori, la matrice risulta non diagonalizzabile.
Per gli altri due qualcuno è in grado di schiarirmi le idee??
.BRN
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo