Basi e dimensioni

[sajhoiseddse]

Ciao a tutti, torno con un altro esercizio sull'argomento basi/dimensioni. Mi piacerebbe avere una conferma sul procedimento:

Al variare di $kinRR$, si consideri il sottospazio $UksubRR^4$ generato dai vettori

$u_1 = [[-1],[2],[2k-1],[1]], u_2=[[-1],[3],[0],[k+1]], u_3=[[-1],[4],[0],[2]], u_4=[[0],[-2k^2],[2k^2-k],[-k^2]]$.

1) Calcolare la dimensione di $U_k$ al variare di $k$

Alur, per questo punto procedo così: controllo l'indipendenza lineare dei vettori del suo span in base al parametro k. La matrice completa associata mi esce così:

$[[-1,-1,-1,0, |,0],[2, 3,4,-2k^2,|,0],[2k-1,0,0,2k^2-k,|,0],[1,k+1,2,-k^2,|,0]]$

In teoria basta risolverlo per scoprire la risposta, ma io mi sono incagliato comunque non vi tedio con i calcolini, me li riguardo da solo, vorrei solo una conferma sul procedimento! In ogni caso, Wims mi dice che sono sempre linearmente indipendenti, non so se fidarmi... comunque per ora lo do per buono per il resto dell'esercizio.

2) Per $k=1/2$ determinare una base $B$ di $U_(1/2)$

Qui credo di sbagliare qualcosa. Se sostituisco banalmente $1/2$ al posto di k nello span trovo vettori già l.i. (se mi fido dei risolutori online) e quindi una base, e ho finito. E' corretto?

3) Completare successivamente $B$ a una base di $RR^4$.

Per questo punto mi limito ad aggiungere allo span del punto precedente la base canonica di $RR^4$ e studiarne l'indipendenza lineare. Anche qui sono calcoli, mi interessa solo sapere se l'idea è giusta!

Grazie mille in anticipo!

[LLG GKV]

secondo i miei conti, la matrice associata alla base è singolare se e solo se $ k=0 $ oppure $ k=1/3 $. Ho ottenuto questo risultato triangolarizzando la trasposta. Per il secondo punto forse vogliono solo che calcoli i vettori, perchè, sicuramente se ti danno uno spazio generato da alcuni vettori, tra quei vettori c'è una base. Per il punto 3, invece, la tua idea è corretta ma forse la cosa più semplice è completare la base con il determinante simbolico
$ W_i=| ( e_1 , e_2 , e_3 , e_4 ),( u_1 , u_2 , u_3 , 0 ),( v_1 , v_2 , v_3 ,0 ),( w_1 , w_2 , w_3 , 0 ) | $ e $ v_i; u_i; w_i $ la terna che devi completare. E' un po' l'analogo del prodotto vettoriale in più dimensioni.

[sajhoiseddse]

Grazie per la risposta. Intanto premetto che non abbiamo ancora studiato i determinanti a livello ufficiale il nostro programma è un po' strano... Inoltre non capisco bene il tuo procedimento al punto A, non sapevo che esistesse qualcosa come "triangolarizzare la trasposta".
Infine, non mi è chiaro cosa intendi quando dici "forse vogliono solo che calcoli i vettori" al punto b. Non li trovo già sostituendo il parametro?

Grazie mille in anticipo!

[LLG GKV]

essendo che il determinante di una matrice 1x1 (uno scalare) è se stesso, ricordando la formula di Laplace, si ottiene subito che il determinante della trasposta di una matrice è quello della matrice stessa, quindi, se la tua matrice è singolare allora lo sarà anche la sua trasposta e viceversa, da cui, se le mosse di Gauss-Jordan lasciano invariante la singolarità di una matrice, allora triangolarizzare la trasposta è un procedimento equivalente a triangolarizzare la matrice. Per quanto riguarda il punto 2, invece, forse devi solo scriverli in componenti forse, levando i "k".