Basi e coordinate:

[Fabrizio7868]

Salve a tutti! Perdonate la domanda che sarà piuttosto banale, ma non riesco a venirne a capo, non tanto forse per il ragionamento dietro, quanto per il modo in cui la mia professoressa l'ha posta all'interno di un compito d'esame:
Considerati i vettori v1=(1,1,0,1) e v2=(2,3,1,-1), determinare una base B che contiene i due vettori e le coordinate del vettore v=(3,4,1,0) rispetto a B. Ora, solitamente, un esercizio del genere sarebbe facile se la richiesta fosse solo determinare le coordinate di un vettore rispetto ad una base già fornita completamente nei dati: basta porre i vettori della base a sistema ed inserire nella colonna dei termini noti le coordinate e risolvere, se possibile, il sistema. Ma qui è richiesto trovare le coordinate di un vettore rispetto ad una base che ancora non conosco e che anzi devo trovare inserendo proprio quelle coordinate. Mi sembra un ragionamento circolare. Sono sicurissimo che la traccia del compito sia così, dato che ce l'ho sotto mano. Qualcuno saprebbe aiutarmi dunque? Grazie infinite per la disponibilità!

[Jokah]

Una idea decente per completare una base, assegnati i due vettori, potrebbe essere quella di aggiungerci il loro complemento ortogonale in $\mathbb{R}^4$, cioè l'insieme di tutti i vettori di $\mathbb{R}^4$ che sono ortogonali a $(1,1,0,1)$ e $(2,3,1,-1)$. Per fare ciò ti basta risolvere il sistema lineare omogeneo che impone, tramite il prodotto scalare, l'ortogonalità di un generico vettore $(x,y,z,t)$ di $\mathbb{R}^4$ con entrambi i precedenti.

\(\begin{cases} (x,y,z,t)\cdot(1,1,0,1) = 0 \\ (x,y,z,t)\cdot(2,3,1,-1) = 0 \end{cases}\)

Per il resto dovresti saper andare avanti da solo!