Basi duali
Ciao a tutti, mi sono imbattuta in questo esercizio che non capisco proprio:
Fissati tre punti distinti $ x_1, x_2, x_3 ∈ RR $ , si consideri la base di $ RR_2[x]^∗, {f1, f2, f3} $
dove $ f_j : RR_2[x] → RR $ è il funzionale definito da $ P |-> P(x_ j ) $ , per $ j = 1, 2, 3 $ .
Scrivere la base di $ RR_2[x] $ duale di $ {f_1, f_2, f_3} $ .
Purtroppo non saprei nemmeno da dove cominciare, se riuscite a darmi una mano ve ne sono grata!
Fissati tre punti distinti $ x_1, x_2, x_3 ∈ RR $ , si consideri la base di $ RR_2[x]^∗, {f1, f2, f3} $
dove $ f_j : RR_2[x] → RR $ è il funzionale definito da $ P |-> P(x_ j ) $ , per $ j = 1, 2, 3 $ .
Scrivere la base di $ RR_2[x] $ duale di $ {f_1, f_2, f_3} $ .
Purtroppo non saprei nemmeno da dove cominciare, se riuscite a darmi una mano ve ne sono grata!
Risposte
Nota che c'è una incongruenza apparente nel testo dell'esercizio: ti si dà una base di \( \mathbb R_2[X]^* \), e quando ti si chiede di trovare la sua base duale, si afferma che questa è una base di \( \mathbb R_2[X] \).
Dovrebbe esserti scattata la domanda: "è vero che ogni base di \( V^* \) (per \( V \) spazio generico di dimensione finita) è la base duale di una base di \( V \)?".
Dovrebbe esserti scattata la domanda: "è vero che ogni base di \( V^* \) (per \( V \) spazio generico di dimensione finita) è la base duale di una base di \( V \)?".
Beh essendo in dimensione finita posso dimostrare che $ V $ è isomorfo al suo duale e anche al suo biduale $ V^(∗∗) $ e l'isomorfismo non dipende dalla base scelta, giusto?
Sì. Ma allora che cosa non capisci?
Allora, io dovrei scrivere la base duale. Come faccio?
Ho una base $ B={f_1,f_2,f_3} $ e devo trovare la base $ B^∗={f_1^∗,f_2^∗,f_3^∗} $
So che per definizione di base duale deve succedere che $ f_j^∗(f_i)=delta_(i,j) $
Non capisco come andare avanti ora
Ho una base $ B={f_1,f_2,f_3} $ e devo trovare la base $ B^∗={f_1^∗,f_2^∗,f_3^∗} $
So che per definizione di base duale deve succedere che $ f_j^∗(f_i)=delta_(i,j) $
Non capisco come andare avanti ora
Un'applicazione lineare è univocamente determinata dalle sue immagini su una base. Quindi, di fatto, per ogni \( j = 1,2,3 \) esiste un'unica applicazione lineare \( f_j^*\colon \mathbb R_2[X]^*\to K \) che mappa \( f_j^*\colon f_i\mapsto\delta_{ij} \), ed è la
\[
\textstyle f_j^*\colon\sum_{i = 1}^3y_if_i\mapsto\sum_{i = 1}^3y_i\delta_{ij} = y_j
\] che mappa un funzionale che rispetto a \( \{f_1,f_2,f_3\} \) si scrive come \( \sum_{i = 1}^3y_if_i \) in [...].
Quindi adesso hai dei funzionali su \( V^* \), cioè degli elementi \( f_j^*\in\mathbb R_2[X]^{**} \). Vuoi determinare le coordinate rispetto a \( \{1,X,X^2\} \) degli elementi di una base \( \{A_1,A_2,A_3\} \) di \( \mathbb R_2[X] \) tale che \( A_i^* = f_i \) per \( i = 1,2,3 \).
Come hai giustamente detto, uno spazio \( V \) è isomorfo al suo duale per mezzo dell'applicazione \( \phi\colon v\mapsto v\circ{-} \) che mappa un vettore \( v\in V \) nell'applicazione \( v\circ{-}\colon V^*\to K \), definita da \( \xi\mapsto v\circ\xi := \xi(v) \).
Nota allora che, se \( \{v_1,\dots,v_n\} \) è una base di \( V \), è necessariamente \( v_i^{**} = v_i\circ{-} \) per ogni \( i = 1,\dots,n \), e questo perché \( v_i\circ v_j^* = v_j^*(v_i) \).
Questo ti permette di ricavare le coordinate rispetto a \( \{v_1\dots,v_n\} \) di quel vettore \( v\in V \) che corrisponde per mezzo dell'iso canonico \( V\cong V^{**} \) ad un vettore \( \Xi \) del biduale \( V^{**} \): sono esattamente le stesse di \( \Xi \) rispetto alla base biduale \( \{v_1^{**},\dots,v_n^{**}\} \), e questo perché deve necessariamente essere \( \phi^{-1}(v_i^{**}) = v_i \), da cui
\[
\textstyle \phi^{-1}(\Xi) = \phi^{-1}\left(\sum_{i = 1}^n\xi_iv_i^{**}\right) = \sum_{i = 1}^n\xi_i\phi^{-1}(v_i^{**}) = \sum_{i = 1}^n\xi_i v_i
\] per \( \Xi\in V^{**} \) che si scrive rispetto ai \( v_i^{**} \)s come \( \Xi = \sum_{i = 1}^n\xi_i v_i^{**} \), per scalari \( \xi_1,\dots,\xi_n \).
Ma allora ti basta determinare le coordinate di \( f_1^* \), \( f_2^* \) e \( f_3^* \) rispetto alla base biduale di \( \{1,X,X^2\} \). Sai che le coordinate di un funzionale \( \xi\in V^* \) rispetto alla base duale \( \{v_1^*,\dots,v_n^*\} \) sono esattamente le entrate della matrice di \( \xi \) rispetto alla base \( \{v_1,\dots,v_n\} \), quindi tutto quello che ti rimane da fare è determinare quanto fa \( f_j^*(1^*) \), quanto fa \( f_j^*(X^*) \) e quanto fa \( f_j^*((X^2)^*) \) (nota che \( f_j^*\in\mathbb R_2[X]^{**} \), mentre \( 1^*,X^*,(X^2)^*\in\mathbb R_2[X] \)).
Conosci la matrice di cambio base da \( B = \{f_1,f_2,f_3\} \) a \( C = \{ 1^*,X^*,(X^2)^* \} \) : è
\[
\alpha_{BC}(1_{\mathbb R_2[X]^*}) =
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
x_1 & x_2 & x_3\\
x_1^2 & x_2^2 & x_3^2
\end{pmatrix}
\] e se la inverti, trovi le coordinate di \( 1 \) e \( X^* \) e \( (X^2)^* \) rispetto agli \( f_j \).
Sicuramente si poteva procedere in un modo un po' meno pedante, senza farmi perdere i cartoni animati. Tuttavia sono passaggi innocui, che trovo abbastanza istruttivi.
\[
\textstyle f_j^*\colon\sum_{i = 1}^3y_if_i\mapsto\sum_{i = 1}^3y_i\delta_{ij} = y_j
\] che mappa un funzionale che rispetto a \( \{f_1,f_2,f_3\} \) si scrive come \( \sum_{i = 1}^3y_if_i \) in [...].
Quindi adesso hai dei funzionali su \( V^* \), cioè degli elementi \( f_j^*\in\mathbb R_2[X]^{**} \). Vuoi determinare le coordinate rispetto a \( \{1,X,X^2\} \) degli elementi di una base \( \{A_1,A_2,A_3\} \) di \( \mathbb R_2[X] \) tale che \( A_i^* = f_i \) per \( i = 1,2,3 \).
Come hai giustamente detto, uno spazio \( V \) è isomorfo al suo duale per mezzo dell'applicazione \( \phi\colon v\mapsto v\circ{-} \) che mappa un vettore \( v\in V \) nell'applicazione \( v\circ{-}\colon V^*\to K \), definita da \( \xi\mapsto v\circ\xi := \xi(v) \).
Nota allora che, se \( \{v_1,\dots,v_n\} \) è una base di \( V \), è necessariamente \( v_i^{**} = v_i\circ{-} \) per ogni \( i = 1,\dots,n \), e questo perché \( v_i\circ v_j^* = v_j^*(v_i) \).
Questo ti permette di ricavare le coordinate rispetto a \( \{v_1\dots,v_n\} \) di quel vettore \( v\in V \) che corrisponde per mezzo dell'iso canonico \( V\cong V^{**} \) ad un vettore \( \Xi \) del biduale \( V^{**} \): sono esattamente le stesse di \( \Xi \) rispetto alla base biduale \( \{v_1^{**},\dots,v_n^{**}\} \), e questo perché deve necessariamente essere \( \phi^{-1}(v_i^{**}) = v_i \), da cui
\[
\textstyle \phi^{-1}(\Xi) = \phi^{-1}\left(\sum_{i = 1}^n\xi_iv_i^{**}\right) = \sum_{i = 1}^n\xi_i\phi^{-1}(v_i^{**}) = \sum_{i = 1}^n\xi_i v_i
\] per \( \Xi\in V^{**} \) che si scrive rispetto ai \( v_i^{**} \)s come \( \Xi = \sum_{i = 1}^n\xi_i v_i^{**} \), per scalari \( \xi_1,\dots,\xi_n \).
Ma allora ti basta determinare le coordinate di \( f_1^* \), \( f_2^* \) e \( f_3^* \) rispetto alla base biduale di \( \{1,X,X^2\} \). Sai che le coordinate di un funzionale \( \xi\in V^* \) rispetto alla base duale \( \{v_1^*,\dots,v_n^*\} \) sono esattamente le entrate della matrice di \( \xi \) rispetto alla base \( \{v_1,\dots,v_n\} \), quindi tutto quello che ti rimane da fare è determinare quanto fa \( f_j^*(1^*) \), quanto fa \( f_j^*(X^*) \) e quanto fa \( f_j^*((X^2)^*) \) (nota che \( f_j^*\in\mathbb R_2[X]^{**} \), mentre \( 1^*,X^*,(X^2)^*\in\mathbb R_2[X] \)).
Conosci la matrice di cambio base da \( B = \{f_1,f_2,f_3\} \) a \( C = \{ 1^*,X^*,(X^2)^* \} \) : è
\[
\alpha_{BC}(1_{\mathbb R_2[X]^*}) =
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
x_1 & x_2 & x_3\\
x_1^2 & x_2^2 & x_3^2
\end{pmatrix}
\] e se la inverti, trovi le coordinate di \( 1 \) e \( X^* \) e \( (X^2)^* \) rispetto agli \( f_j \).
Sicuramente si poteva procedere in un modo un po' meno pedante, senza farmi perdere i cartoni animati. Tuttavia sono passaggi innocui, che trovo abbastanza istruttivi.
Grazie mille Marco, mi hai risolto moltissimi dubbi!!
Sei stato chiarissimo
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