Basi di uno spazio vettoriale finito
Sto ripassando quanto il prof. può chiedere all'orale - dopo aver trascritto gli appunti presi a lezione -. E spesso mi blocco. Soprattutto mi pongono problemi le dimostrazioni - anche brevi - per assurdo:
"Se $A$ è parte libera di $V$ e $xnotinL(A)$, allora anche $xuuA$ è parte libera di $V$. Infatti, se così non fosse, dovrebbero esistere $a_1, a_2, . . ., a_ninA$ e $lambda, lambda_1, lambda_2, . . ., lambda_ninK$ $:$ $lambdax+lambda_1a_1+lambda_2a_2+ . . . +lambda_na_n=0$ con $lambda_1, lambda_2, . . ., lambda_ninK$ non tutti nulli. Necessariamente dovrebbe risultare $lambda!=0$ essendo $A$ parte libera di $V$."
E qui già mi sono perso perché - secondo me - dato che la C.L. a destra di $lambdax$ non può - per definizione di elementi appartenenti a una parte libera di un insieme - essere altro che zero, ne dovrebbe conseguire che $lambda$ dovrebbe essere nullo, altrimenti la C.L. totale non potrebbe annullarsi - a meno di $x=0$ -.
La conclusione della dimostrazioncina risulta sintetica: " Ne seguirebbe $x inL(A)$ contro il supposto".
Nel linguaggio "aulico" del prof. significa, ovviamente, che la negazione dell'ipotesi esita in un assurdo, quindi la negazione dell'ipotesi risulta falsa e l'ipotesi vera.
Grazie $infty$ a chi, gentilmente, potrà darmi una mano a capire il passaggio che mi blocca.
"Se $A$ è parte libera di $V$ e $xnotinL(A)$, allora anche $xuuA$ è parte libera di $V$. Infatti, se così non fosse, dovrebbero esistere $a_1, a_2, . . ., a_ninA$ e $lambda, lambda_1, lambda_2, . . ., lambda_ninK$ $:$ $lambdax+lambda_1a_1+lambda_2a_2+ . . . +lambda_na_n=0$ con $lambda_1, lambda_2, . . ., lambda_ninK$ non tutti nulli. Necessariamente dovrebbe risultare $lambda!=0$ essendo $A$ parte libera di $V$."
E qui già mi sono perso perché - secondo me - dato che la C.L. a destra di $lambdax$ non può - per definizione di elementi appartenenti a una parte libera di un insieme - essere altro che zero, ne dovrebbe conseguire che $lambda$ dovrebbe essere nullo, altrimenti la C.L. totale non potrebbe annullarsi - a meno di $x=0$ -.
La conclusione della dimostrazioncina risulta sintetica: " Ne seguirebbe $x inL(A)$ contro il supposto".
Nel linguaggio "aulico" del prof. significa, ovviamente, che la negazione dell'ipotesi esita in un assurdo, quindi la negazione dell'ipotesi risulta falsa e l'ipotesi vera.
Grazie $infty$ a chi, gentilmente, potrà darmi una mano a capire il passaggio che mi blocca.
Risposte
Come avrai certamente colto, io ho delle difficoltà anche al finito e il "blocco" che esponevo era se non ledesse la generalità supporre $!=0$ proprio il coefficiente $lambda$. Credo di no, ma sono soltanto in grado di fare esempi, non di "dimostrarlo" come ha richiesto il prof. a un Collega.
Tieni anche conto, se ritieni, del fatto che quasi tutta l'aula - nel senso umano del termine - non ha compreso la dimostrazione perché si è "impuntata" sulla stessa sciocca riflessione che ho formulato anch'io: ovviamente, non in tutte le combinazioni lineari di vettori linearmente indipendenti si ha somma nulla! La definizione dice soltanto che - per avere somma nulla, se sono linearmente indipendenti - debbono avere tutti i coefficienti nulli. Il che è ben diverso!
Eppure, tutta l'"aula" sostiene che dev'essere $lambda=0$ come se la somma di vettori appartenenti a una parte libera
(in questo caso quella a destra di $lambdax$) dovesse essere sempre identicamente nulla - indipendentemente dai coefficienti -. Purtroppo, abbiamo ancora scarse capacità di rappresentazione mentale - mi sono convinto che con gli spazi vettoriali finiti possa aiutare - e di ragionamento "logico".
Tieni anche conto, se ritieni, del fatto che quasi tutta l'aula - nel senso umano del termine - non ha compreso la dimostrazione perché si è "impuntata" sulla stessa sciocca riflessione che ho formulato anch'io: ovviamente, non in tutte le combinazioni lineari di vettori linearmente indipendenti si ha somma nulla! La definizione dice soltanto che - per avere somma nulla, se sono linearmente indipendenti - debbono avere tutti i coefficienti nulli. Il che è ben diverso!
Eppure, tutta l'"aula" sostiene che dev'essere $lambda=0$ come se la somma di vettori appartenenti a una parte libera
(in questo caso quella a destra di $lambdax$) dovesse essere sempre identicamente nulla - indipendentemente dai coefficienti -. Purtroppo, abbiamo ancora scarse capacità di rappresentazione mentale - mi sono convinto che con gli spazi vettoriali finiti possa aiutare - e di ragionamento "logico".
In attesa che ROMA91 cancelli il mio precedente intervento, che nulla ha a che fare con questo thread; ecco la risposta apposita: avendo supposto che:
\[
\lambda x+\lambda_1a_1+\dots+\lambda_na_n=0\\
\lambda x=-\lambda_1a_1+\dots-\lambda_na_n;
\]
se \(\displaystyle\lambda=0\) non abbiamo nulla di nuovo, se \(\displaystyle\lambda\neq0\) che puoi fare?
\[
\lambda x+\lambda_1a_1+\dots+\lambda_na_n=0\\
\lambda x=-\lambda_1a_1+\dots-\lambda_na_n;
\]
se \(\displaystyle\lambda=0\) non abbiamo nulla di nuovo, se \(\displaystyle\lambda\neq0\) che puoi fare?
"ROMA91":
"Se $A$ è parte libera di $V$ e $xnotinL(A)$, allora anche $xuuA$ è parte libera di $V$. Infatti, se così non fosse, dovrebbero esistere $a_1, a_2, . . ., a_ninA$ e $lambda, lambda_1, lambda_2, . . ., lambda_ninK$ $:$ $lambdax+lambda_1a_1+lambda_2a_2+ . . . +lambda_na_n=0$ con $lambda_1, lambda_2, . . ., lambda_ninK$ non tutti nulli. Necessariamente dovrebbe risultare $lambda!=0$ essendo $A$ parte libera di $V$."
Ciao!
Supponiamo per assurdo che $A':={x} \cup A$ NON SIA una parte libera di $V$. Questo vuol dire che se prendo $x$ ed un certo insieme finito di vettori di $A$, diciamo $n$, dunque $a_1,..., a_n \in A$, riesco a trovare una combinazione lineare nulla, i cui coefficienti NON sono nulli. Cioè $\exists \lambda, \lambda_1,..., \lambda_n \in \mathbb{K}$ non tutti nulli, tali che:
$$\lambda \cdot x + \lambda_1 \cdot a_1+...+\lambda_n \cdot a_n=0$$Ora, se tutti i $\lambda_i$ con $i\in{1,...,n}$ fossero nulli, essendo $x\ne 0$ (poichè $x\notin L(A)$!), l'unica possibilità sarebbe che $\lambda=0$, e questo non può accadere perchè avevamo poc'anzi detto che questa è una combinazione nulla i cui coefficienti non sono tutti nulli.
Dunque, necessariamente, se qualche coefficiente deve essere diverso da zero, questo deve essere uno dei coefficienti $\lambda_i$, cioè: $\lambda_1,..., \lambda_n$ non tutti nulli.
Questa è la parte più importante della dimostrazione!
Ora, se $\lambda$ fosse zero, avremmo trovato $\lambda_1,..., \lambda_n$ non tutti nulli (quelli di cui sopra!) e tali che:$$\lambda_1 \cdot a_1+...+\lambda_n \cdot a_n=0$$ma (ricordiamo che $A$ è una parte libera di $V$!) allora avremmo trovato un insieme finito di vettori di $A$ (per l'appunto $a_1,...,a_n$) tali che una loro combinazione nulla è fatta da coefficienti non tutti nulli. Questo naturalmente è un assurdo! Quindi $\lambda ne 0$. La tesi è ottenuta.
"ROMA91":
Come avrai certamente colto, io ho delle difficoltà anche al finito e il "blocco" che esponevo era se non ledesse la generalità supporre $!=0$ proprio il coefficiente $lambda$. Credo di no, ma sono soltanto in grado di fare esempi, non di "dimostrarlo" come ha richiesto il prof. a un Collega.
La dimostrazione fa notare che è proprio necessario porre $\lambda \ne 0$, altrimenti si cade in un assurdo. E' tutto nell'ultima parte della dimostrazione.
"ROMA91":
ovviamente, non in tutte le combinazioni lineari di vettori linearmente indipendenti si ha somma nulla! La definizione dice soltanto che - per avere somma nulla, se sono linearmente indipendenti - debbono avere tutti i coefficienti nulli. Il che è ben diverso!
Pienamente d'accordo!
"ROMA91":
Eppure, tutta l'"aula" sostiene che dev'essere $lambda=0$ come se la somma di vettori appartenenti a una parte libera
(in questo caso quella a destra di $lambdax$) dovesse essere sempre identicamente nulla - indipendentemente dai coefficienti -.
Prova a leggere la mia dimostrazione e poi dimmi se pensi ancora la stessa cosa. Magari leggendo la mia dimostrazione risolvi questo dubbio...
Se non hai capito qualcosa dimmelo
.
Ciao e grazie davvero di essermi venuto in aiuto.
Ciao!
Supponiamo per assurdo che $A':={x} \cup A$ NON SIA una parte libera di $V$. Questo vuol dire che se prendo $x$ ed un certo insieme finito di vettori di $A$, diciamo $n$, dunque $a_1,..., a_n \in A$, riesco a trovare una combinazione lineare nulla, i cui coefficienti NON sono nulli. Cioè $\exists \lambda, \lambda_1,..., \lambda_n \in \mathbb{K}$ non tutti nulli, tali che:
$$\lambda \cdot x + \lambda_1 \cdot a_1+...+\lambda_n \cdot a_n=0$$Ora, se tutti i $\lambda_i$ con $i\in{1,...,n}$ fossero nulli, essendo $x\ne 0$ (poichè $x\notin L(A)$!), l'unica possibilità sarebbe che $\lambda=0$, e questo non può accadere perchè avevamo poc'anzi detto che questa è una combinazione nulla i cui coefficienti non sono tutti nulli.
Dunque, necessariamente, se qualche coefficiente deve essere diverso da zero, questo deve essere uno dei coefficienti $\lambda_i$, cioè: $\lambda_1,..., \lambda_n$ non tutti nulli.[/quote]
Mi scuso, ma qui mi sono riperso. Se ho compreso bene, il fatto che $x\notin L(A)$ non implica che $x\ne 0$. Sono le parti libere di $V$ - se ho capito bene - che non possono contenere il vettore $0$. O sbaglio?
Provo a ragionare così: se $lambda$ fosse $=0$, la somma - C.L. - a dx (trattandosi di vettori appartenenti ad $A$ - parte libera -) per poter essere nulla dovrebbe avere nulli tutti i coefficienti, ma ciò risulta assurdo perché si era ipotizzato che non tutti i coefficienti della C.L. globale eguagliata a $0$ dovessero essere nulli. Quindi, il coefficiente $lambda$ dovrebbe essere $!=0$. Da cui conseguirebbe che $x$ sarebbe ottenibile quale C.L. di elementi appartenenti ad $A$
- cioè, $x inL(A)$ -. Esattamente "contro il supposto" - come dice il prof. -.
Infatti, esistono $infty^n$ C.L. dei vettori di una parte libera non nulle - che possono essere annullate solo mediante un $lambda!=0$ - posto $x!=0$ -, mentre - per definizione di parte libera - ne esiste soltanto una nulla: quella, appunto, con tutti i coefficienti nulli. Altrimenti, le loro "somme vettoriali" non si annullano mai.
Grazie $infty$ per un gradito cenno di riscontro
La dimostrazione fa notare che è proprio necessario porre $\lambda \ne 0$, altrimenti si cade in un assurdo. E' tutto nell'ultima parte della dimostrazione.
Pienamente d'accordo!
Prova a leggere la mia dimostrazione e poi dimmi se pensi ancora la stessa cosa. Magari leggendo la mia dimostrazione risolvi questo dubbio...
Se non hai capito qualcosa dimmelo .[/quote]
"Isaac888":
[quote="ROMA91"]"Se $A$ è parte libera di $V$ e $xnotinL(A)$, allora anche $xuuA$ è parte libera di $V$. Infatti, se così non fosse, dovrebbero esistere $a_1, a_2, . . ., a_ninA$ e $lambda, lambda_1, lambda_2, . . ., lambda_ninK$ $:$ $lambdax+lambda_1a_1+lambda_2a_2+ . . . +lambda_na_n=0$ con $lambda_1, lambda_2, . . ., lambda_ninK$ non tutti nulli. Necessariamente dovrebbe risultare $lambda!=0$ essendo $A$ parte libera di $V$."
Ciao!
Supponiamo per assurdo che $A':={x} \cup A$ NON SIA una parte libera di $V$. Questo vuol dire che se prendo $x$ ed un certo insieme finito di vettori di $A$, diciamo $n$, dunque $a_1,..., a_n \in A$, riesco a trovare una combinazione lineare nulla, i cui coefficienti NON sono nulli. Cioè $\exists \lambda, \lambda_1,..., \lambda_n \in \mathbb{K}$ non tutti nulli, tali che:
$$\lambda \cdot x + \lambda_1 \cdot a_1+...+\lambda_n \cdot a_n=0$$Ora, se tutti i $\lambda_i$ con $i\in{1,...,n}$ fossero nulli, essendo $x\ne 0$ (poichè $x\notin L(A)$!), l'unica possibilità sarebbe che $\lambda=0$, e questo non può accadere perchè avevamo poc'anzi detto che questa è una combinazione nulla i cui coefficienti non sono tutti nulli.
Dunque, necessariamente, se qualche coefficiente deve essere diverso da zero, questo deve essere uno dei coefficienti $\lambda_i$, cioè: $\lambda_1,..., \lambda_n$ non tutti nulli.[/quote]
Mi scuso, ma qui mi sono riperso. Se ho compreso bene, il fatto che $x\notin L(A)$ non implica che $x\ne 0$. Sono le parti libere di $V$ - se ho capito bene - che non possono contenere il vettore $0$. O sbaglio?
Provo a ragionare così: se $lambda$ fosse $=0$, la somma - C.L. - a dx (trattandosi di vettori appartenenti ad $A$ - parte libera -) per poter essere nulla dovrebbe avere nulli tutti i coefficienti, ma ciò risulta assurdo perché si era ipotizzato che non tutti i coefficienti della C.L. globale eguagliata a $0$ dovessero essere nulli. Quindi, il coefficiente $lambda$ dovrebbe essere $!=0$. Da cui conseguirebbe che $x$ sarebbe ottenibile quale C.L. di elementi appartenenti ad $A$
- cioè, $x inL(A)$ -. Esattamente "contro il supposto" - come dice il prof. -.
Infatti, esistono $infty^n$ C.L. dei vettori di una parte libera non nulle - che possono essere annullate solo mediante un $lambda!=0$ - posto $x!=0$ -, mentre - per definizione di parte libera - ne esiste soltanto una nulla: quella, appunto, con tutti i coefficienti nulli. Altrimenti, le loro "somme vettoriali" non si annullano mai.
Grazie $infty$ per un gradito cenno di riscontro
"Isaac888":
Questa è la parte più importante della dimostrazione!
Ora, se $\lambda$ fosse zero, avremmo trovato $\lambda_1,..., \lambda_n$ non tutti nulli (quelli di cui sopra!) e tali che:$$\lambda_1 \cdot a_1+...+\lambda_n \cdot a_n=0$$ma (ricordiamo che $A$ è una parte libera di $V$!) allora avremmo trovato un insieme finito di vettori di $A$ (per l'appunto $a_1,...,a_n$) tali che una loro combinazione nulla è fatta da coefficienti non tutti nulli. Questo naturalmente è un assurdo! Quindi $\lambda ne 0$. La tesi è ottenuta.
[quote="ROMA91"]Come avrai certamente colto, io ho delle difficoltà anche al finito e il "blocco" che esponevo era se non ledesse la generalità supporre $!=0$ proprio il coefficiente $lambda$. Credo di no, ma sono soltanto in grado di fare esempi, non di "dimostrarlo" come ha richiesto il prof. a un Collega.
La dimostrazione fa notare che è proprio necessario porre $\lambda \ne 0$, altrimenti si cade in un assurdo. E' tutto nell'ultima parte della dimostrazione.
"ROMA91":
ovviamente, non in tutte le combinazioni lineari di vettori linearmente indipendenti si ha somma nulla! La definizione dice soltanto che - per avere somma nulla, se sono linearmente indipendenti - debbono avere tutti i coefficienti nulli. Il che è ben diverso!
Pienamente d'accordo!
"ROMA91":
Eppure, tutta l'"aula" sostiene che dev'essere $lambda=0$ come se la somma di vettori appartenenti a una parte libera
(in questo caso quella a destra di $lambdax$) dovesse essere sempre identicamente nulla - indipendentemente dai coefficienti -.
Prova a leggere la mia dimostrazione e poi dimmi se pensi ancora la stessa cosa. Magari leggendo la mia dimostrazione risolvi questo dubbio...
Se non hai capito qualcosa dimmelo
.[/quote]
"ROMA91":
Se ho compreso bene, il fatto che $x\notin L(A)$ non implica che $x\ne 0$. Sono le parti libere di $V$ - se ho capito bene - che non possono contenere il vettore $0$. O sbaglio?
Ti sbagli. $A$ è una parte libera di $V$ e dunque, giustamente, non può contenere il vettore nullo! Però $L(A)$ è il più piccolo sottospazio vettoriale di $V$ che continene $A$! Come tutti i bravi sottospazi vettoriali, $L(A)$ contiene necessariamente anche il vettore nullo! Dunque il fatto che $x \notin L(A)$ ti dice automaticamente che $x \ne 0$, perchè $0 \in L(A)$.
In generale, se $A$ è una parte libera di $V$ spazio vettoriale:
1)$x\in A \Rightarrow x \in L(A)$;
2)[tex]x \in L(A) \nRightarrow x \in A[/tex];
(Esempio relativo a 2): $A={e_1,e_2}$ è una parte libera di $V=\mathbb{R}^3$. Anche se $e_1+e_2 \notin A$, tuttavia $e_1+e_2 \in L(A)$).
3)$L(A)$ è un sottospazio vettoriale;
3bis)$3)\Rightarrow 0 \in L(A)$
"ROMA91":
Provo a ragionare così: se $\lambda$ fosse $=0$, la somma - C.L. - a dx (trattandosi di vettori appartenenti ad A - parte libera -) per poter essere nulla dovrebbe avere nulli tutti i coefficienti, ma ciò risulta assurdo perché si era ipotizzato che non tutti i coefficienti della C.L. globale eguagliata a $0$ dovessero essere nulli. Quindi, il coefficiente $\lambda$ dovrebbe essere $\ne 0$. Da cui conseguirebbe che $x$ sarebbe ottenibile quale C.L. di elementi appartenenti ad $A$
- cioè, $x \inL(A)$ -. Esattamente "contro il supposto" - come dice il prof. -.
Credo che sia la stessa cosa in fondo! Io ho solo cercato di rifare i passaggi del tuo prof pedissequamente. Se ti torna più logico come hai fatto tu, secondo me, va bene lo stesso! Mi sembra apposto come hai fatto tu insomma!
"Isaac888":
[quote="ROMA91"]Se ho compreso bene, il fatto che $x\notin L(A)$ non implica che $x\ne 0$. Sono le parti libere di $V$ - se ho capito bene - che non possono contenere il vettore $0$. O sbaglio?
Ti sbagli. $A$ è una parte libera di $V$ e dunque, giustamente, non può contenere il vettore nullo! Però $L(A)$ è il più piccolo sottospazio vettoriale di $V$ che continene $A$! Come tutti i bravi sottospazi vettoriali, $L(A)$ contiene necessariamente anche il vettore nullo! Dunque il fatto che $x \notin L(A)$ ti dice automaticamente che $x \ne 0$, perchè $0 \in L(A)$.
In generale, se $A$ è una parte libera di $V$ spazio vettoriale:
1)$x\in A \Rightarrow x \in L(A)$;
2)[tex]x \in L(A) \nRightarrow x \in A[/tex];
(Esempio relativo a 2): $A={e_1,e_2}$ è una parte libera di $V=\mathbb{R}^3$. Anche se $e_1+e_2 \notin A$, tuttavia $e_1+e_2 \in L(A)$).
3)$L(A)$ è un sottospazio vettoriale;
3bis)$3)\Rightarrow 0 \in L(A)$
"ROMA91":
Provo a ragionare così: se $\lambda$ fosse $=0$, la somma - C.L. - a dx (trattandosi di vettori appartenenti ad A - parte libera -) per poter essere nulla dovrebbe avere nulli tutti i coefficienti, ma ciò risulta assurdo perché si era ipotizzato che non tutti i coefficienti della C.L. globale eguagliata a $0$ dovessero essere nulli. Quindi, il coefficiente $\lambda$ dovrebbe essere $\ne 0$. Da cui conseguirebbe che $x$ sarebbe ottenibile quale C.L. di elementi appartenenti ad $A$
- cioè, $x \inL(A)$ -. Esattamente "contro il supposto" - come dice il prof. -.
Credo che sia la stessa cosa in fondo! Io ho solo cercato di rifare i passaggi del tuo prof pedissequamente. Se ti torna più logico come hai fatto tu, secondo me, va bene lo stesso! Mi sembra apposto come hai fatto tu insomma![/quote]
Sei un grande! "Blateravo" su $L(A)$ senza rendermi conto che si tratta di un sottospazio!
Ti ringrazio davvero perché sei in grado di riuscire a far "diradare la nebbia" - nei cervelli! -!
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